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1 - PRÉAMBULE

  • 1.1 - Éléments historiques
  • 1.2 - Lectorat et conseil de lecture

2 - APPLICATIONS « SET-DEFINED SET-VALUED »

  • 2.1 - Principales propriétés
  • 2.2 - Autres propriétés

3 - LES QUATRE AXIOMATIQUES DES ESPACES TOPOLOGIQUES

  • 3.1 - Axiomes relatifs aux ouverts
  • 3.2 - Axiomes relatifs aux fermés
  • 3.3 - Axiomes relatifs aux voisinages
  • 3.4 - Axiomatique par les filtres convergents

4 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES

  • 4.1 - Notions primitives
  • 4.2 - Opérateurs de pré-fermeture et de pré-intérieur
  • 4.3 - Ouverts, fermés, fermetures et intérieurs
  • 4.4 - Frontières, bords et orées
  • 4.5 - Voisinages et entourages
  • 4.6 - Opérateurs de voisinages
  • 4.7 - Pré-fermetures, pré-intérieurs, frontières… à partir des voisinages
  • 4.8 - Comparaison des prétopologies

5 - POINTS ET SOUS-ENSEMBLES PARTICULIERS

  • 5.1 - Points particuliers
  • 5.2 - Sous-ensembles particuliers

6 - PROPRIÉTÉS CÉLÈBRES GÉNÉRALISÉES

  • 6.1 - Propriété cantorienne généralisée
  • 6.2 - Propriété de Borel généralisée
  • 6.3 - Propriété de Lindelöf généralisée
  • 6.4 - Propriété de Borel-Lebesgue généralisée

7 - AXIOMES DE PRÉ-FERMETURE

  • 7.1 - Axiomatique de Kuratowski généralisée
  • 7.2 - Interrelations entre ces axiomes
  • 7.3 - Formulations équivalentes de ces axiomes en termes de voisinages
  • 7.4 - Interrelations avec les axiomatiques des espaces topologiques

8 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES SANS AXIOMES

  • 8.1 - Espaces prétopologiques généraux de Koutský

9 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 1 AXIOME

  • 9.1 - Espaces prétopologiques o de Meeùs
  • 9.2 - Espaces prétopologiques généraux de Day
  • 9.3 - Espaces prétopologiques p de Meeùs
  • 9.4 - Espaces prétopologiques i de Meeùs

10 -  ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 2 AXIOMES

  • 10.1 -  Espaces prétopologiques de Day
  • 10.2 -  Espaces prétopologiques généraux de Fréchet
  • 10.3 -  Espaces prétopologiques de Hammer
  • 10.4 -  Espaces prétopologiques de Soltan

11 -  ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 3 AXIOMES

  • 11.1 -  Espaces prétopologiques de Fréchet
  • 11.2 -  Espaces prétopologiques de Tukey
  • 11.3 -  Espaces prétopologiques de Moore

12 -  ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 4 AXIOMES

  • 12.1 -  Espaces prétopologiques de Sierpińsky et d’Appert
  • 12.2 -  Espaces prétopologiques de Čech
  • 12.3 -   Espaces prétopologiques de Destouches
  • 12.4 -  Espaces prétopologiques d’Alexandrov

13 -  ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 5 AXIOMES

  • 13.1 -  Espaces prétopologiques de Kuratowski
  • 13.2 -  Espaces topologiques
  • 13.3 -  Espaces topologiques d’Alexandrov

14 -  APPLICATIONS ENTRE ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES

  • 14.1 -  Applications ouvertes et fermées
  • 14.2 -  Applications continues
  • 14.3 -  Compositions des applications

15 -  CONSTRUCTION D’ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES

  • 15.1 -  Par les relations binaires
  • 15.2 -  Par les correspondances de Galois
  • 15.3 -  Par des collections de sous-ensembles
  • 15.4 -  Par les fonctions distances

16 -  EXEMPLES DÉTAILLÉS D’APPLICATIONS

  • 16.1 -  Biologie théorique
  • 16.2 -  Chimie théorique
  • 16.3 -  Économie mathématique
  • 16.4 -  Géographie théorique
  • 16.5 -  Informatique : bases de données relationnelles
  • 16.6 -  Mathématiques : logique
  • 16.7 -  Mathématiques : algèbre
  • 16.8 -  Mathématiques : analyse
  • 16.9 -  Mathématiques : géométrie
  • 16.10 -  Mathématiques : probabilité et statistiques
  • 16.11 -  Mathématiques : topologie digitale
  • 16.12 -  Physique : physique quantique
  • 16.13 -  Psychologie mathématique
  • 16.14 -  Sciences sociales
  • 16.15 -  Traitement des images : image à tons de gris
  • 16.16 -  Théorie des graphes
  • 16.17 -  Théorie des jeux
  • 16.18 -  Théorie de la décision

17 -  CONCLUSION

18 -  GLOSSAIRE

Article de référence | Réf : AF96 v1

Points et sous-ensembles particuliers
Prétopologie

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Relu et validé le 07 mai 2021

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Sommaire

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RÉSUMÉ

Branche des mathématiques cousine de la topologie générale traitant des espaces prétopologiques, à savoir des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier,  la prétopologie permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques. Tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie, ses champs d'application sont diverses et variés. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. De très nombreux exemples d’applications y sont détaillés.

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ABSTRACT

Pretopology

Pretopology is a mathematical field cousin of General Topology dealing with pre-topological spaces, i.e. of sets equipped with more general structures than topologies and defined via pre-closure operators, including topological closure operators as a special case. It allows compensating for a too big restriction of the axiomatic of topological spaces, and its application fields are many and varied, in both formal, natural and human sciences and engineering. This article presents its concepts and basic notions following the canvas of gradual exposure of General Topology, in order to allow the reader to understand the similarities and differences. 36 detailed examples of application issues are exposed.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - Au Docteur Séverine Rivolier pour son intérêt scientifique.

INTRODUCTION

La prétopologie est une branche des mathématiques cousine de la topologie générale qui traite des espaces prétopologiques, c’est-à-dire des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier. Elle permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques et ses champs applicatifs sont nombreux et variés, tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. Trente-six exemples d’applications détaillés sont exposés.

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KEYWORDS

continuity   |   pretopological spaces   |   neighborhoods   |   preclosure operators

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af96


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5. Points et sous-ensembles particuliers

5.1 Points particuliers

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5.1.1 Points adhérents, intérieurs et extérieurs

Dans un espace prétopologique quelconque (E,cl), les points adhérents (adherent points) à un sous-ensemble X de E sont les points appartenant à cl(X), les points intérieurs (interior points) à un sous-ensemble X de E sont les points appartenant à int(X), et les points extérieurs (exterior points) à un sous-ensemble X de E sont les points appartenant à ext(X) (i.e. à int(Xc )) (p. 278 de ).

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5.1.2 Points frontières et périphériques

Dans un espace prétopologique quelconque (E,cl), les points frontières (boundary points) à un sous-ensemble X de E sont les points appartenant à (p. 278 de ).

Les points appartenant à un sous-ensemble X, mais pas à son pré-intérieur int(X), c’est-à-dire les points appartenant au bord de X sont appelés les points périphériques...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - AERTS (D.), PULMANNOVÁ (S.) -   Representation of state property systems,  -  Journal of Mathematical Physics, Vol. 47, No. 7, pp. 1-18 (2006).

  • (2) - ALBUQUERQUE (L.) -   Sur les ensembles clairsemés,  -  Portugaliae Mathematica, Vol. 3, No. 2-3, pp. 132-156 (1942a).

  • (3) - ALEXANDROV (P.) -   Zur Begründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie,  -  Mathematische Annalen, Vol. 94, pp. 296-308 (1925) (en Allemand).

  • (4) - ALEXANDROV (P.) -   Sur les espaces discrets,  -  Compte-rendu des séances hebdomadaires de l’Académie des Sciences de Paris, Vol. 200, pp. 1649-1651 (1935).

  • (5) - ALEXANDROV (P.) -   Diskrete Räume,  -  Matematicheskiĭ Sbornik, N.S. 2, Vol. 44, pp. 501-518 (1937) (en russe).

  • (6)...

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