Prétopologie : Dossier complet | Techniques de l’Ingénieur

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Prétopologie

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 févr. 2020

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Espaces topologiques I - Notions de base

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RÉSUMÉ

Branche des mathématiques cousine de la topologie générale traitant des espaces prétopologiques, à savoir des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier, la prétopologie permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques. Tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie, ses champs d'application sont diverses et variés. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. De très nombreux exemples d’applications y sont détaillés.

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ABSTRACT

Pretopology

Pretopology is a mathematical field cousin of General Topology dealing with pre-topological spaces, i.e. of sets equipped with more general structures than topologies and defined via pre-closure operators, including topological closure operators as a special case. It allows compensating for a too big restriction of the axiomatic of topological spaces, and its application fields are many and varied, in both formal, natural and human sciences and engineering. This article presents its concepts and basic notions following the canvas of gradual exposure of General Topology, in order to allow the reader to understand the similarities and differences. 36 detailed examples of application issues are exposed.

Auteur(s)

Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - Au Docteur Séverine Rivolier pour son intérêt scientifique.

INTRODUCTION

La prétopologie est une branche des mathématiques cousine de la topologie générale qui traite des espaces prétopologiques, c’est-à-dire des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier. Elle permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques et ses champs applicatifs sont nombreux et variés, tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. Trente-six exemples d’applications détaillés sont exposés.

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MOTS-CLÉS

continuité | espaces prétopologiques | voisinages | opérateurs de pré-fermeture

KEYWORDS

continuity | pretopological spaces | neighborhoods | preclosure operators

PERMALIEN

https://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/mathematiques-fondamentales-analyse-fonctionnelle-42696210/pretopologie-af96/

RÉFÉRENCE BIBLIOGRAPHIQUE

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BIBLIOGRAPHIE

(1) - AERTS (D.), PULMANNOVÁ (S.) - Representation of state property systems, - Journal of Mathematical Physics, Vol. 47, No. 7, pp. 1-18 (2006).
(2) - ALBUQUERQUE (L.) - Sur les ensembles clairsemés, - Portugaliae Mathematica, Vol. 3, No. 2-3, pp. 132-156 (1942a).
(3) - ALEXANDROV (P.) - Zur Begründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie, - Mathematische Annalen, Vol. 94, pp. 296-308 (1925) (en Allemand).
(4) - ALEXANDROV (P.) - Sur les espaces discrets, - Compte-rendu des séances hebdomadaires de l’Académie des Sciences de Paris, Vol. 200, pp. 1649-1651 (1935).
(5) - ALEXANDROV (P.) - Diskrete Räume, - Matematicheskiĭ Sbornik, N.S. 2, Vol. 44, pp. 501-518 (1937) (en russe).
(6)...

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Sommaire
Sommaire détaillé

INTRODUCTION

1 - PRÉAMBULE

1.1 - Éléments historiques
1.2 - Lectorat et conseil de lecture

2 - APPLICATIONS « SET-DEFINED SET-VALUED »

2.1 - Principales propriétés
2.2 - Autres propriétés

3 - LES QUATRE AXIOMATIQUES DES ESPACES TOPOLOGIQUES

3.1 - Axiomes relatifs aux ouverts
3.2 - Axiomes relatifs aux fermés
3.3 - Axiomes relatifs aux voisinages
3.4 - Axiomatique par les filtres convergents

4 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES

4.1 - Notions primitives
4.2 - Opérateurs de pré-fermeture et de pré-intérieur
4.3 - Ouverts, fermés, fermetures et intérieurs
4.4 - Frontières, bords et orées
4.5 - Voisinages et entourages
4.6 - Opérateurs de voisinages
4.7 - Pré-fermetures, pré-intérieurs, frontières… à partir des voisinages
4.8 - Comparaison des prétopologies
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5 - POINTS ET SOUS-ENSEMBLES PARTICULIERS

5.1 - Points particuliers
5.2 - Sous-ensembles particuliers

6 - PROPRIÉTÉS CÉLÈBRES GÉNÉRALISÉES

6.1 - Propriété cantorienne généralisée
6.2 - Propriété de Borel généralisée
6.3 - Propriété de Lindelöf généralisée
6.4 - Propriété de Borel-Lebesgue généralisée

7 - AXIOMES DE PRÉ-FERMETURE

7.1 - Axiomatique de Kuratowski généralisée
7.2 - Interrelations entre ces axiomes
7.3 - Formulations équivalentes de ces axiomes en termes de voisinages
7.4 - Interrelations avec les axiomatiques des espaces topologiques
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