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Théorie des ensembles ordonnés

Article de référence | Réf : AF96 v1

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Prétopologie

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 févr. 2020

Relu et validé le 07 mai 2021

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Espaces topologiques I - Notions de base

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RÉSUMÉ

Branche des mathématiques cousine de la topologie générale traitant des espaces prétopologiques, à savoir des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier, la prétopologie permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques. Tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie, ses champs d'application sont diverses et variés. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. De très nombreux exemples d’applications y sont détaillés.

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ABSTRACT

Pretopology

Pretopology is a mathematical field cousin of General Topology dealing with pre-topological spaces, i.e. of sets equipped with more general structures than topologies and defined via pre-closure operators, including topological closure operators as a special case. It allows compensating for a too big restriction of the axiomatic of topological spaces, and its application fields are many and varied, in both formal, natural and human sciences and engineering. This article presents its concepts and basic notions following the canvas of gradual exposure of General Topology, in order to allow the reader to understand the similarities and differences. 36 detailed examples of application issues are exposed.

Auteur(s)

Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - Au Docteur Séverine Rivolier pour son intérêt scientifique.

INTRODUCTION

La prétopologie est une branche des mathématiques cousine de la topologie générale qui traite des espaces prétopologiques, c’est-à-dire des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier. Elle permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques et ses champs applicatifs sont nombreux et variés, tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. Trente-six exemples d’applications détaillés sont exposés.

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MOTS-CLÉS

continuité | espaces prétopologiques | voisinages | opérateurs de pré-fermeture

KEYWORDS

continuity | pretopological spaces | neighborhoods | preclosure operators

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BIBLIOGRAPHIE

(1) - AERTS (D.), PULMANNOVÁ (S.) - Representation of state property systems, - Journal of Mathematical Physics, Vol. 47, No. 7, pp. 1-18 (2006).
(2) - ALBUQUERQUE (L.) - Sur les ensembles clairsemés, - Portugaliae Mathematica, Vol. 3, No. 2-3, pp. 132-156 (1942a).
(3) - ALEXANDROV (P.) - Zur Begründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie, - Mathematische Annalen, Vol. 94, pp. 296-308 (1925) (en Allemand).
(4) - ALEXANDROV (P.) - Sur les espaces discrets, - Compte-rendu des séances hebdomadaires de l’Académie des Sciences de Paris, Vol. 200, pp. 1649-1651 (1935).
(5) - ALEXANDROV (P.) - Diskrete Räume, - Matematicheskiĭ Sbornik, N.S. 2, Vol. 44, pp. 501-518 (1937) (en russe).
(6)...

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Sommaire
Sommaire détaillé

INTRODUCTION

1 - PRÉAMBULE

1.1 - Éléments historiques
1.2 - Lectorat et conseil de lecture

2 - APPLICATIONS « SET-DEFINED SET-VALUED »

2.1 - Principales propriétés
2.2 - Autres propriétés

3 - LES QUATRE AXIOMATIQUES DES ESPACES TOPOLOGIQUES

3.1 - Axiomes relatifs aux ouverts
3.2 - Axiomes relatifs aux fermés
3.3 - Axiomes relatifs aux voisinages
3.4 - Axiomatique par les filtres convergents

4 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES

4.1 - Notions primitives
4.2 - Opérateurs de pré-fermeture et de pré-intérieur
4.3 - Ouverts, fermés, fermetures et intérieurs
4.4 - Frontières, bords et orées
4.5 - Voisinages et entourages
4.6 - Opérateurs de voisinages
4.7 - Pré-fermetures, pré-intérieurs, frontières… à partir des voisinages
4.8 - Comparaison des prétopologies
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5 - POINTS ET SOUS-ENSEMBLES PARTICULIERS

5.1 - Points particuliers
5.2 - Sous-ensembles particuliers

6 - PROPRIÉTÉS CÉLÈBRES GÉNÉRALISÉES

6.1 - Propriété cantorienne généralisée
6.2 - Propriété de Borel généralisée
6.3 - Propriété de Lindelöf généralisée
6.4 - Propriété de Borel-Lebesgue généralisée

7 - AXIOMES DE PRÉ-FERMETURE

7.1 - Axiomatique de Kuratowski généralisée
7.2 - Interrelations entre ces axiomes
7.3 - Formulations équivalentes de ces axiomes en termes de voisinages
7.4 - Interrelations avec les axiomatiques des espaces topologiques
- Quiz d'entraînement

8 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES SANS AXIOMES

8.1 - Espaces prétopologiques généraux de Koutský

9 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 1 AXIOME

9.1 - Espaces prétopologiques o de Meeùs
9.2 - Espaces prétopologiques généraux de Day
9.3 - Espaces prétopologiques p de Meeùs
9.4 - Espaces prétopologiques i de Meeùs

10 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 2 AXIOMES

10.1 - Espaces prétopologiques de Day
10.2 - Espaces prétopologiques généraux de Fréchet
10.3 - Espaces prétopologiques de Hammer
10.4 - Espaces prétopologiques de Soltan

11 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 3 AXIOMES

11.1 - Espaces prétopologiques de Fréchet
11.2 - Espaces prétopologiques de Tukey
11.3 - Espaces prétopologiques de Moore
- Quiz d'entraînement

12 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 4 AXIOMES

12.1 - Espaces prétopologiques de Sierpińsky et d’Appert
12.2 - Espaces prétopologiques de Čech
12.3 - Espaces prétopologiques de Destouches
12.4 - Espaces prétopologiques d’Alexandrov

13 - ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES À 5 AXIOMES

13.1 - Espaces prétopologiques de Kuratowski
13.2 - Espaces topologiques
13.3 - Espaces topologiques d’Alexandrov

14 - APPLICATIONS ENTRE ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES

14.1 - Applications ouvertes et fermées
14.2 - Applications continues
14.3 - Compositions des applications

15 - CONSTRUCTION D’ESPACES PRÉTOPOLOGIQUES

15.1 - Par les relations binaires
15.2 - Par les correspondances de Galois
15.3 - Par des collections de sous-ensembles
15.4 - Par les fonctions distances

16 - EXEMPLES DÉTAILLÉS D’APPLICATIONS

16.1 - Biologie théorique
16.2 - Chimie théorique
16.3 - Économie mathématique
16.4 - Géographie théorique
16.5 - Informatique : bases de données relationnelles
16.6 - Mathématiques : logique
16.7 - Mathématiques : algèbre
16.8 - Mathématiques : analyse
16.9 - Mathématiques : géométrie
16.10 - Mathématiques : probabilité et statistiques
16.11 - Mathématiques : topologie digitale
16.12 - Physique : physique quantique
16.13 - Psychologie mathématique
16.14 - Sciences sociales
16.15 - Traitement des images : image à tons de gris
16.16 - Théorie des graphes
16.17 - Théorie des jeux
16.18 - Théorie de la décision
- Quiz d'entraînement

17 - CONCLUSION

18 - GLOSSAIRE

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