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RÉSUMÉ
Branche des mathématiques cousine de la topologie générale traitant des espaces prétopologiques, à savoir des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier, la prétopologie permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques. Tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie, ses champs d'application sont diverses et variés. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. De très nombreux exemples d’applications y sont détaillés.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - Au Docteur Séverine Rivolier pour son intérêt scientifique.
INTRODUCTION
La prétopologie est une branche des mathématiques cousine de la topologie générale qui traite des espaces prétopologiques, c’est-à-dire des ensembles munis de structures plus générales que les topologies et définies via des opérateurs de pré-fermeture, dont les opérateurs de fermeture topologique classiques sont un cas particulier. Elle permet de pallier une trop grande restriction de l’axiomatique des espaces topologiques et ses champs applicatifs sont nombreux et variés, tant en sciences formelles, naturelles et humaines, qu’en ingénierie. Cet article en présente les concepts et notions de bases en suivant le canevas d’exposition progressive de la topologie générale, afin de permettre au lecteur d’en comprendre les similarités et les différences. Trente-six exemples d’applications détaillés sont exposés.
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3. Les quatre axiomatiques des espaces topologiques
Les espaces topologiques sont classiquement définis par une des quatre axiomatiques équivalentes suivantes [AF 97].
3.1 Axiomes relatifs aux ouverts
Un espace topologique peut être introduit sur un ensemble ambiant E via une collection de sous-ensembles particuliers dits « ouverts » telle que :
Définition (espace topologique, axiomes pour les ouverts). Un espace topologique (topological space) est une paire
consistant en un ensemble E et une collection
de sous-ensembles de E, appelés les ensembles ouverts (open sets), satisfaisant aux trois axiomes suivants (p. 5 de , p. 5 de [AF 97]) :
(oi) Le sous-ensemble vide
est ouvert ((oia)) et l’ensemble E est...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AERTS (D.), PULMANNOVÁ (S.) - Representation of state property systems, - Journal of Mathematical Physics, Vol. 47, No. 7, pp. 1-18 (2006).
-
(2) - ALBUQUERQUE (L.) - Sur les ensembles clairsemés, - Portugaliae Mathematica, Vol. 3, No. 2-3, pp. 132-156 (1942a).
-
(3) - ALEXANDROV (P.) - Zur Begründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie, - Mathematische Annalen, Vol. 94, pp. 296-308 (1925) (en Allemand).
-
(4) - ALEXANDROV (P.) - Sur les espaces discrets, - Compte-rendu des séances hebdomadaires de l’Académie des Sciences de Paris, Vol. 200, pp. 1649-1651 (1935).
-
(5) - ALEXANDROV (P.) - Diskrete Räume, - Matematicheskiĭ Sbornik, N.S. 2, Vol. 44, pp. 501-518 (1937) (en russe).
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(6)...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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Géométrie affine et euclidienne.
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