Présentation

Article

1 - CLASSES DE SOUS-ENSEMBLES DE…

  • 1.1 - Classes de compacts
  • 1.2 - Classes de compacts convexes
  • 1.3 - Anneaux des compacts poly-convexes de…
  • 1.4 - Classes de compacts étoilés

2 - DISTANCES POUR LES COMPACTS CONVEXES DE…

  • 2.1 - Hyper-topologies et fonctions distances
  • 2.2 - Distance de Pompéiu et Hausdorff pour les compacts
  • 2.3 - Distance de Pompéiu et Hausdorff pour les compacts convexes
  • 2.4 - Distance de Fréchet, Nikodym et Aronszajn
  • 2.5 - Distance de Marczewski et Steinhaus
  • 2.6 - Équivalence de ces trois métriques induites pour les corps compacts et convexes de…

3 - DISTANCES SPÉCIFIQUES POUR LES CORPS COMPACTS CONVEXES DE…

  • 3.1 - Distance d’Eggleston
  • 3.2 - Distance de Vitale
  • 3.3 - Distance de Florian

4 - DISTANCES SUR LES CLASSES D’ÉQUIVALENCE AFFINE DE COMPACTS CONVEXES DE…

  • 4.1 - Distance de MacBeath et de Levi
  • 4.2 - Distance d’Asplund
  • 4.3 - Distance de Shephard
  • 4.4 - Métriques de MacBeath et de Levi, d’Asplund et de Shephard
  • 4.5 - Distance de Banach et Mazur modifiée
  • 4.6 - Hyper-espaces des boules et ellipsoïdes

5 - DISTANCES SUR LES CLASSES DE COMPACTS ÉTOILÉS DE…

  • 5.1 - Théorème de sélection de Melzak et Hirose et de Beer
  • 5.2 - Distance de Moszyńska

6 - VOLUMES INTRINSÈQUES DANS…

  • 6.1 - Volumes
  • 6.2 - Périmètres et aires surfaciques
  • 6.3 - Formule polynomiale de Steiner et volumes intrinsèques
  • 6.4 - Fonctionnelles de Minkowski
  • 6.5 - Volumes intrinsèques en dimensions 2 et 3
  • 6.6 - Théorème de caractérisation d’Hadwiger
  • 6.7 - Dimension 2 et 3… formules de Cauchy
  • 6.8 - Autres fonctionnelles

7 - SOUS-ENSEMBLES DE DIAMÈTRES DE FERET CONSTANTS OU D’AIRES DE FERET CONSTANTES

  • 7.1 - Sous-ensembles de diamètres de Feret constants
  • 7.2 - Sous-ensembles convexes d’aires de Féret constantes

8 - APPROXIMATION DES CORPS CONVEXES DANS…

  • 8.1 - Approximations directes en dimension 2
  • 8.2 - Approximations directes en dimension 3
  • 8.3 - Approximations directes en dimension n
  • 8.4 - Approximations asymptotiques

9 - INÉGALITÉS ET ÉGALITÉS GÉOMÉTRIQUES

10 - INÉGALITÉS ET ÉGALITÉS GÉOMÉTRIQUES DANS…

  • 10.1 - Inégalités à 2 fonctionnelles
  • 10.2 - Inégalités à 3 fonctionnelles
  • 10.3 - Inégalités à 4 fonctionnelles

11 - INÉGALITÉS ET ÉGALITÉS GÉOMÉTRIQUES DANS…

  • 11.1 - Inégalités de Minkowski
  • 11.2 - Inégalités à 1 fonctionnelle
  • 11.3 - Inégalités à 2 fonctionnelles
  • 11.4 - Inégalités à 3 fonctionnelles
  • 11.5 - Égalité de Blaschke
  • 11.6 - Inégalités à 4 fonctionnelles

12 - INÉGALITÉS ET ÉGALITÉS GÉOMÉTRIQUES DANS…

  • 12.1 - Inégalité de Brunn et Minkowski
  • 12.2 - Inégalités à 2 fonctionnelles
  • 12.3 - Inégalités à 3 fonctionnelles
  • 12.4 - Inégalité de Fenchel et d’Alexandrov

13 - INÉGALITÉS ET ÉGALITÉS GÉOMÉTRIQUES DANS… : CORPS ASSOCIÉS À UN CORPS CONVEXE

  • 13.1 - Inégalité de différence de Blaschke
  • 13.2 - Inégalité de différence de Rogers et Shephard
  • 13.3 - Inégalité d’intersection de Busemann

14 - ENSEMBLES EXTRÉMAUX ET STABILITÉ DES INÉGALITÉS GÉOMÉTRIQUES

15 - PROBLÈMES VARIATIONELS DANS…

  • 15.1 - Le problème isopérimètrique
  • 15.2 - Le problème isodiamètrique
  • 15.3 - Le problème de Minkowski
  • 15.4 - Le problème de Blaschke
  • 15.5 - Le problème de Blaschke et Lebesgue
  • 15.6 - Le problème de Nakajima
  • 15.7 - Le problème de Favard
  • 15.8 - Le problème de Besicovitch
  • 15.9 - Le problème de Shephard
  • 15.10 - Le problème de Busemann et Petty
  • 15.11 - Le problème de Jung
  • 15.12 - Le problème d’Alexandrov
  • 15.13 - Quelques exemples d’autres problèmes en dimension 2

16 - SYMÉTRISATION DANS…

  • 16.1 - i-symétrisation de Bianchi, Gardner et Gronchi
  • 16.2 - Symétrisation de Steiner
  • 16.3 - Symétrisation centrale
  • 16.4 - Symétrisation de Minkowski et Blaschke
  • 16.5 - Symétrisation de Schwarz

17 - CONCLUSION

  • 17.1 - Tomographie géométrique et morphométrie géométrique
  • 17.2 - Autres branches des mathématiques appliquées
  • 17.3 - Applications numériques

18 - SIGLES, NOTATIONS ET SYMBOLES

Article de référence | Réf : AF220 v1

Inégalités et égalités géométriques dans…
Géométrie convexe II - Distances et mesures, approximation, comparaison et symétrisation

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 nov. 2020

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RÉSUMÉ

La géométrie convexe est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, principalement dans les espaces euclidiens. Les ensembles convexes se produisent naturellement dans la géométrie et dans beaucoup de domaines mathématiques : analyse convexe, analyse fonctionnelle, géométrie calculatoire, géométrie discrète, géométrie intégrale, géométrie des nombres, géométrie stochastique, programmation linéaire, stéréologie, théorie des jeux, théorie des probabilités,etc. La géométrie convexe concerne aussi d'autres disciplines scientifiques et techniques (e.g. biologie, chimie, cosmologie, géologie, pharmacie, physique...) où les objets élémentaires (cellules, corpuscules, grains, particules, planètes...) sont souvent considérés comme des ensembles convexes. Ce second article porte sur les distances et les mesures sur les ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés, ainsi que sur les approximations, comparaisons et symétrisations, dont l’intérêt se situe à la fois en théorie et en pratique.

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ABSTRACT

Convex Geometry II. Distances and Measures, Approximation, Comparison and Symmetrisation

Convex Geometry is the branch of geometry studying convex sets, mainly in Euclidean spaces. Convex sets occur naturally in Geometry and in many mathematical areas: computational geometry, convex analysis, discrete geometry, functional analysis, geometry of numbers, integral geometry, linear programming, game theory, probability theory, stochastic geometry, stereology etc.. Convex Geometry is also of interest in other scientific and engineering disciplines (e.g. in biology, chemistry, cosmology, geology, pharmaceutics, physics …) where elementary objects (cells, corpuscles, grains, particles, planets …) are often considered as convex sets. This second article deals with distances and measurements on convex sets and more broadly on star-shaped sets, as well as approximations, comparisons and symmetrizations, whose interest lies both in theory and in practice.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France

INTRODUCTION

Un premier article [AF 219] traitant de la géométrie convexe (Convex Geometry) a porté sur les principales définitions et propriétés des ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés, ainsi que des théorèmes fondamentaux les concernant.

Ce second article aborde des notions plus avancées, mais néanmoins fortes utiles pour les applications pratiques (analyse des données, analyse des images, analyse des formes…). En effet, les ensembles convexes doivent être mesurés (volumes, aires surfaciques, diamètres…) d’où le besoin de « mesures » mathématiques appropriées (les volumes intrinsèques) fournissant des grandeurs géométriques communément appelés descripteurs de taille (size descriptors). Ils doivent être aussi approximés et comparés, d’où la nécessité de l’utilisation de fonctions distances (distance de Pompéiu et Hausdorff, distance d’Asplund…). L’existence d’inégalités géométriques reliant ces grandeurs géométriques permet aussi la construction de descripteurs de formes (shape descriptors). Les questions concernant la continuité des grandeurs géométriques et la convergence de suites de sous-ensembles convexes ou étoilés ne relèvent pas uniquement de la théorie, mais se posent (ou doivent être posés) dans de nombreux cas pratiques comportant des problèmes de comparaison, d’approximation et de symétrisation.

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KEYWORDS

convex sets   |   star-shaped sets   |   geometric inequalities   |   intrinsic volumes

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af220


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12. Inégalités et égalités géométriques dans…

CI-dessus : Inégalités et égalités géométriques dans

12.1  Inégalité de Brunn et Minkowski

Théorème (inégalité de Brunn (1887, 1889) et Minkowski (1897)). Soit X et Y deux corps convexes compacts de . L’inégalité suivante est satisfaite (p. 204 de , p. 674 de , p. 8 de , p. 982 de ) :

l’égalité étant vérifiée quand X et Y sont (positivement) homothétiques (p. 142 de ...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ALEXANDROV (A.D.) -   Zur Theorie der gemischten Volumina von konvexen Körpern, II: Neue Ungleichungen zwischen den gemischten Volumina und ihre Anwendungen,  -  Matematicheskii Sbornik N. S. 2, pp. 1205-1238, (en russe avec un résumé en allemand) (1937).

  • (2) - ANCIAUX (H.), GUILFOYLE (B.) -   On the three-dimensional Blaschke-Lebesgue problem,  -  Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 139, No. 5, pp. 1831-1839 (2011).

  • (3) - ASPLUND (E.) -   Comparison between plane symmetric convex bodies and parallelograms,  -  Mathematica Scandinavia, Vol. 8, pp. 171-180 (1960).

  • (4) - BALL (K.) -   An elementary introduction to modern convex geometry,  -  In: Flavors on Geometry, Research Institute for Mathematical Sciences, Vol. 31, pp. 1-58, Cambridge University Press, Cambridge (1997).

  • (5) - BANACH (S.) -   Sur les fonctionnelles linéaires,  -  Studia Mathematica, Vol. 1, pp. 211-216 (1929).

  • ...

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