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RÉSUMÉ
Au-delà d’une première approche et l’exécution de calculs simples, l’utilisation d’un système de calcul formel nécessite une connaissance approfondie du système et de ses limitations. En précisant les domaines des mathématiques où ce type de calcul présente un fort intérêt, cet article répond à la question de l’utilité d’un investissement dans une formation sur le calcul formel. De nombreux exemples illustrent son fonctionnement, et abordent ainsi ses calculs de base, notamment sur la dérivation, la simplification de formules et les tracés de courbes, mais aussi les calculs intégral et matriciel et la résolutions d’équations non linéaires. Pour cette présentation, c’est le système de calcul formel Maple qui a été choisi, ce système largement diffusé dispose d’une bibliothèque très riche et ouverte.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Claude GOMEZ : Directeur de recherche INRIA (Institut national de recherche en informatique et en automatique)
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Bruno SALVY : Directeur de recherche INRIA
INTRODUCTION
Le calcul formel est aujourd'hui très connu dans le monde scientifique en général et chez les ingénieurs en particulier. En effet, de nos jours, il est aisé d'installer et d'utiliser un système de calcul formel sur un simple micro-ordinateur à faible coût (PC, Macintosh). Lorsque l'on vient d'acquérir un tel système, il faut apprendre à l'utiliser. Dans un premier temps, il est très facile de réaliser des calculs simples, du style « calculatrice formelle », mais pour aller plus loin, une certaine connaissance du système et de ses limitations s'avère nécessaire. Sinon, l'utilisateur se décourage vite et abandonne. Donc, du temps de formation est indispensable à l'utilisation d'un système de calcul formel.
Une question apparaît alors : « le calcul formel est-il utile pour moi ? » ; autrement dit, « est-il rentable pour moi de passer du temps à apprendre à utiliser un tel système ? ». Le but de cet article est de répondre à cette question. Pour cela, nous allons passer en revue les principaux domaines des mathématiques dans lesquels le calcul formel peut résoudre des problèmes. Ces domaines sont ceux où l'ingénieur a généralement à travailler : les calculs sur les nombres et les fractions rationnelles, la dérivation, la simplification de formules et les tracés de courbes qui sont la base de tout système de calcul formel, mais aussi les calculs intégral et matriciel, la résolution d'équations non linéaires et des systèmes d'équations différentielles couramment utilisées par les ingénieurs. Et enfin, il faudra parler du calcul numérique. Ce dernier est en général la fin du travail de l'ingénieur et il ne faut pas opposer calcul formel et calcul numérique. Nous montrerons en effet les cas où le calcul formel peut s'avérer très utile dans ce domaine. Pour chaque partie, nous montrerons ce que sait faire le calcul formel, comment il le fait et quelles sont ses limitations.
Un grand nombre d'exemples émaillent ce document, ceci afin de montrer le fonctionnement du calcul formel à travers un système. Nous avons choisi le système de calcul formel Maple pour cela. La raison en est que ce système est très largement diffusé (comme Mathematica), qu'il dispose d'une bibliothèque suffisamment riche et ouverte (le code source de la plupart des fonctions est accessible) et qu'il est aisément extensible.
Le fonctionnement d'un système de calcul formel comme Maple est simple : l'utilisateur entre une commande, terminée par un point-virgule « ; » dans une syntaxe très naturelle, et Maple affiche la réponse en format haute résolution qui ressemble à la typographie mathématique. Si l'on remplace le point-virgule par un deux-points « : », la réponse n'est pas affichée. Maple utilise le principe des packages, c'est-à-dire qu'un grand nombre de commandes sont classées en groupes de même fonctionnalité. Dans ce cas, l'appel de la commande s'écrit <nom du package> [<nom de la commande>], comme LinearAlgebra [Determinant].
Le but de cet article n'est pas la description du système de calcul formel Maple. Nous n'expliquerons pas de façon détaillée la syntaxe et le fonctionnement de ce système. Pour cela, le lecteur est invité à consulter l'article « Calcul formel avec Maple » [H 3 028]. Mais les exemples ont été choisis pour qu'ils soient compréhensibles par le lecteur ; des explications seront données chaque fois que cela sera nécessaire.
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3. Calcul matriciel
Le calcul matriciel est un domaine où le calcul formel peut apporter beaucoup lorsque l'on réalise des calculs symboliques. En effet, au-delà de matrices 3 × 3, il devient difficile de réaliser des calculs à la main. La complexité de ces calculs n'est pourtant pas très élevée, ce qui permet aux systèmes de calcul formel de résoudre des problèmes de taille assez importante.
Nous ferons le calcul matriciel en Maple à l'aide du package appelé LinearAlgebra. Pour éviter d'utiliser le nom du package chaque fois que l'on utilise une fonction de celui-ci, il est possible de le charger une fois pour toutes à l'aide de la commande with(LinearAlgebra). C'est ce que nous supposerons dans tout le paragraphe.
3.1 Calculs de base
Tous les systèmes de calcul formel permettent de réaliser les calculs de base sur les matrices et les vecteurs qui sont la somme, le produit, l'élévation à une puissance et le calcul de l'inverse. Seule la syntaxe change d'un système de calcul formel à un autre.
Par exemple, en Maple, pour créer une matrice de Vandermonde 3 × 3, un vecteur et en réaliser le produit, on fera :
> m:=Matrix (3, 3, (i, j) ->x| |i^(j–1)) ;
> v:=Vector ([1,2,3]) ;
> m.v ;
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BIBLIOGRAPHIE
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
(liste non exhaustive)
Axiom
http://www.axiom-developer.org
Maple
Mathematica
http://www.wolfram.com/mathematica
Scilab
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