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Programmation linéaire - Méthodes et applicationsArticle de référence | Réf : AF1380 v1
Auteur(s) : Michel KERN
Date de publication : 10 avr. 2010
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Nous étudions dans ce paragraphe les principales propriétés des problèmes inverses linéaires. Nous nous placerons dans le cadre des espaces de Hilbert, pour que les résultats s’appliquent (par exemple) aux équations intégrales de première espèce, mais nous indiquerons les simplifications qui interviennent en dimension finie. Nous introduirons ensuite l’outil fondamental que constitue la décomposition en valeurs singulières. Enfin, nous montrerons comment la décomposition en valeurs singulières permet d’analyser les problèmes de moindres carrés.
Dans tout ce paragraphe, nous désignerons par A un opérateur linéaire continu d’un espace de Hilbert E dans un espace de Hilbert
2.1 Opérateurs intégraux et équations intégrales
Nous commençons par une brève introduction aux opérateurs intégraux, ainsi qu’aux équations intégrales de première espèce. Ces dernières fournissent le principal exemple de problèmes inverses linéaires. Cette étude sera complétée par l’étude des propriétés spectrales des opérateurs.
Rappelons que L2(a, b) désigne l’espace des fonctions de carré intégrable (au sens de Lebesgue), et que cet espace est un espace de Hilbert pour la norme associée au produit scalaire usuel, défini par :
Définition 1. Soit K une fonction de l’espace L2(]c, d[×]a, b[). L’opérateur
est bien défini en tant qu’opérateur de L2(a, b) dans L2(c, d). On dira que A est l’opérateur intégral de noyau K.
On...
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(1) - ARNOLD (V. I.) - Équations différentielles ordinaires - Éditions de Moscou (19xx).
(2) - AUBERT (G.), KORNPROBST (P.) - Mathematical Problems in Image Processing : Partial Differential Equations and the Calculus of Variations (second edition) - Applied Mathematical Sciences, 147, Springer-Verlag (2006).
(3) - BANKS (H. T.), KUNISCH (K.) - Estimation Techniques for Distributed Parameter Systems - Birkhäuser-Verlag, Zürich (1989).
(4) - BAUMEISTER (J.) - Stable Solution of Inverse Problems - Vieweg, Braunschweig (1987).
(5) - BJORCK (A.) - Numerical methods for least squares problems - Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA (1996).
(6) - BLEISTEIN (N.), COHEN (J. K.), STOCKWELL (J. J. W.) - Mathematics of Multidimensional Seismic Imaging, Migration and Inversion - Interdisciplinary...
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