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Programmation linéaire - Méthodes et applicationsArticle de référence | Réf : AF1380 v1
Auteur(s) : Michel KERN
Date de publication : 10 avr. 2010
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Nous abordons maintenant les problèmes inverses non linéaires et nous nous concentrerons sur l’identification de paramètres dans les équations différentielles.
Dans la situation générale, nous serons en présence d’un phénomène physique dont la structure est connue, mais dont les paramètres précis de fonctionnement ne le sont pas. Il est possible de mesurer la réponse de ce système pour des entrées connues. Le système fonctionne comme une boîte noire et nous voudrions en connaître le contenu, sans « ouvrir » la boîte.
Nous avons vu des exemples au paragraphe 1. Reprenons l’exemple 3 : le chauffage d’une pièce obéit à l’équation de la chaleur , mais nous ne connaissons pas le coefficient a qui représente la conductivité thermique. Par contre, nous supposons que nous avons accès à une mesure de la température u, dans une partie du domaine. Avec ces informations, nous voulons déterminer le coefficient a qui permet de reproduire ces mesures.
La première différence avec le paragraphe précédent est que la correspondance entre le paramètre (a dans notre exemple) et la mesure est non seulement non-linéaire, mais est indirecte, puisqu’elle s’exprime par l’intermédiaire d’une équation comme (4) et la mesure est alors une « partie » de la solution de cette équation. Une équation jouant le rôle de ...
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MATHÉMATIQUES
(1) - ARNOLD (V. I.) - Équations différentielles ordinaires - Éditions de Moscou (19xx).
(2) - AUBERT (G.), KORNPROBST (P.) - Mathematical Problems in Image Processing : Partial Differential Equations and the Calculus of Variations (second edition) - Applied Mathematical Sciences, 147, Springer-Verlag (2006).
(3) - BANKS (H. T.), KUNISCH (K.) - Estimation Techniques for Distributed Parameter Systems - Birkhäuser-Verlag, Zürich (1989).
(4) - BAUMEISTER (J.) - Stable Solution of Inverse Problems - Vieweg, Braunschweig (1987).
(5) - BJORCK (A.) - Numerical methods for least squares problems - Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA (1996).
(6) - BLEISTEIN (N.), COHEN (J. K.), STOCKWELL (J. J. W.) - Mathematics of Multidimensional Seismic Imaging, Migration and Inversion - Interdisciplinary...
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