Relations entre probabilités et équations aux dérivées partielles

Le but de cet article est de montrer les liens qui peuvent exister entre la théorie des processus stochastiques et les équations aux dérivées partielles (EDP ). Les processus stochastiques utilisés sont des processus possédant la propriété de Markov pour lesquels nous distinguerons ceux à temps discret (chaînes de Markov ) et ceux à temps continu (processus de Markov ). L’idée principale est de montrer que l’espérance mathématique de fonctionnelles de ces processus fournit une représentation probabiliste de solutions de certaines équations. Les chaînes de Markov seront ainsi associées à des équations discrètes, stationnaires ou d’évolution, avec divers types de conditions aux bords 1. Les processus de Markov (à temps continu ) seront répartis en deux classes : les processus continus (diffusions ) et les processus de saut. Dans le paragraphe 2, nous présentons le prototype des diffusions (le processus de Wiener ) et nous montrons le lien avec le laplacien. Au paragraphe 3, nous donnons les outils nécessaires au maniement des diffusions obtenues comme solutions d’équations différentielles stochastiques à partir du processus de Wiener. Ces diffusions nous permettent, au paragraphe 4, de représenter les solutions d’EDP du second ordre, stationnaires ou d’évolution, avec divers types de conditions aux bords. Au paragraphe 5, nous montrons l’utilité de ces représentations probabilistes à l’analyse numérique des équations associées. Les processus markoviens de saut, présentés au paragraphe 6, permettent de construire des évolutions aléatoires qui fournissent des représentations probabilistes de systèmes d’EDP hyperboliques.

Nous nous plaçons, tout au long de cet article, sous des hypothèses fortes qui assurent l’existence, l’unicité et la régularité de solutions classiques aux équations considérées. Une approche plus probabiliste consiste à donner un sens à la représentation candidate à être solution de l’équation considérée ; cette méthode permet d’affaiblir les hypothèses sur les coefficients de l’équation et nous renvoyons aux références bibliographiques pour cette approche qui nécessite beaucoup plus de techniques probabilistes.

Nous n’abordons, dans cet article, que le cas d’équations linéaires ; de nombreux travaux actuels de recherche portent sur les équations non linéaires, où les méthodes varient considérablement suivant le type d’équation considéré.

Ces représentations probabilistes sont intéressantes au moins pour trois raisons : elles peuvent aider à la compréhension des phénomènes physiques décrits par les équations considérées. Elles fournissent un outil d’analyse ou de calcul d’approximations des solutions de ces équations(§ 5, par exemple ). Finalement, elles peuvent être utilisées pour l’étude des perturbations de ces équations ; un exemple simple est donné à la fin du paragraphe 6, mais on pourrait citer aussi les problèmes d’homogénéisation.

Cet article suit de très près la présentation faite dans  ; nous renvoyons à cet ouvrage pour plus de détails et des références complémentaires.