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Article

1 - ÉQUATIONS DISCRÈTES ASSOCIÉES AUX CHAÎNES DE MARKOV EN TEMPS ET ESPACE DISCRETS

  • 1.1 - Chaînes de Markov
  • 1.2 - Équations de Kolmogorov
  • 1.3 - Interprétation d’équations discrètes

2 - LE PROCESSUS DE WIENER (OU MOUVEMENT BROWNIEN)

  • 2.1 - Compléments sur les processus
  • 2.2 - Processus de Wiener
  • 2.3 - Lien avec le problème de Dirichlet

3 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES

  • 3.1 - Compléments sur l’intégrale stochastique d’Itô
  • 3.2 - Propriétés de la solution d’une équation différentielle stochastique

4 - INTERPRÉTATION PROBABILISTE DES EDP DU SECOND ORDRE

  • 4.1 - Interprétation des EDP de type elliptique
  • 4.2 - Interprétation des EDP de type parabolique

5 - INTERPRÉTATION PROBABILISTE ET RÉSOLUTION NUMÉRIQUE

  • 5.1 - Principe d’invariance
  • 5.2 - Méthode de Monte-Carlo

6 - ÉVOLUTIONS ALÉATOIRES ET SYSTÈMES D’EDP HYPERBOLIQUES DU PREMIER ORDRE

  • 6.1 - Compléments sur le processus de Poisson
  • 6.2 - Processus markoviens de saut
  • 6.3 - Évolutions aléatoires et EDP associées

Article de référence | Réf : A565 v1

Évolutions aléatoires et systèmes d’EDP hyperboliques du premier ordre
Relations entre probabilités et équations aux dérivées partielles

Auteur(s) : Jean-Pierre FOUQUE

Date de publication : 10 avr. 1996

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Auteur(s)

  • Jean-Pierre FOUQUE : Docteur ès Sciences - Chargé de Recherche au Centre National de la Recherche Scientifique - Maître de Conférences à l’École Polytechnique

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INTRODUCTION

Le but de cet article est de montrer les liens qui peuvent exister entre la théorie des processus stochastiques et les équations aux dérivées partielles (EDP ). Les processus stochastiques utilisés sont des processus possédant la propriété de Markov pour lesquels nous distinguerons ceux à temps discret (chaînes de Markov ) et ceux à temps continu (processus de Markov ). L’idée principale est de montrer que l’espérance mathématique de fonctionnelles de ces processus fournit une représentation probabiliste de solutions de certaines équations. Les chaînes de Markov seront ainsi associées à des équations discrètes, stationnaires ou d’évolution, avec divers types de conditions aux bords 1. Les processus de Markov (à temps continu ) seront répartis en deux classes : les processus continus (diffusions ) et les processus de saut. Dans le paragraphe 2, nous présentons le prototype des diffusions (le processus de Wiener ) et nous montrons le lien avec le laplacien. Au paragraphe 3, nous donnons les outils nécessaires au maniement des diffusions obtenues comme solutions d’équations différentielles stochastiques à partir du processus de Wiener. Ces diffusions nous permettent, au paragraphe 4, de représenter les solutions d’EDP du second ordre, stationnaires ou d’évolution, avec divers types de conditions aux bords. Au paragraphe 5, nous montrons l’utilité de ces représentations probabilistes à l’analyse numérique des équations associées. Les processus markoviens de saut, présentés au paragraphe 6, permettent de construire des évolutions aléatoires qui fournissent des représentations probabilistes de systèmes d’EDP hyperboliques.

Nous nous plaçons, tout au long de cet article, sous des hypothèses fortes qui assurent l’existence, l’unicité et la régularité de solutions classiques aux équations considérées. Une approche plus probabiliste consiste à donner un sens à la représentation candidate à être solution de l’équation considérée ; cette méthode permet d’affaiblir les hypothèses sur les coefficients de l’équation et nous renvoyons aux références bibliographiques pour cette approche qui nécessite beaucoup plus de techniques probabilistes.

Nous n’abordons, dans cet article, que le cas d’équations linéaires ; de nombreux travaux actuels de recherche portent sur les équations non linéaires, où les méthodes varient considérablement suivant le type d’équation considéré.

Ces représentations probabilistes sont intéressantes au moins pour trois raisons : elles peuvent aider à la compréhension des phénomènes physiques décrits par les équations considérées. Elles fournissent un outil d’analyse ou de calcul d’approximations des solutions de ces équations(§ 5, par exemple ). Finalement, elles peuvent être utilisées pour l’étude des perturbations de ces équations ; un exemple simple est donné à la fin du paragraphe 6, mais on pourrait citer aussi les problèmes d’homogénéisation.

Cet article suit de très près la présentation faite dans  ; nous renvoyons à cet ouvrage pour plus de détails et des références complémentaires.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-a565


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6. Évolutions aléatoires et systèmes d’EDP hyperboliques du premier ordre

Dans ce dernier paragraphe, nous montrons comment des évolutions aléatoires construites à partir de processus markoviens de saut fournissent une représentation probabiliste de la solution de systèmes d’EDP hyperboliques du premier ordre. Nous nous restreignons au cas simple des processus de saut à valeurs dans un ensemble fini et nous illustrons les résultats obtenus par un exemple lié à l’équation du télégraphe. Au prix de difficultés techniques supplémentaires, il est possible de généraliser ces résultats au cas de processus de saut à valeurs dans un ensemble non dénombrable tel que , ce qui permet de représenter la solution d’équations de transport du type équation de Boltzmann linéarisée. Ces représentations probabilistes sont particulièrement bien adaptées à la simulation de type Monte-Carlo des solutions de telles équations. Nous renvoyons à la référence  pour plus de détails.

6.1 Compléments sur le processus de Poisson

Le processus de Poisson introduit dans l’article [A 560], est un prototype des processus markoviens de saut. Ce processus modélise des répartitions aléatoires de points sur qui peuvent correspondre à des instants de collisions de particules, mais aussi à des arrivées de clients dans une file d’attente par exemple.

Nous donnons dans ce paragraphe les propriétés fondamentales de ce processus.

Rappelons qu’un processus est un processus...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BILLINGSLEY (P.) -   Convergence of probability measures.  -  Wiley, New York (1968).

  • (2) - BLUMENTHAL (R.M.), GETOUR (R.K.) -   Markov processes and potential theory.  -  Academic Press (1968).

  • (3) - BOULEAU (N.) -   Processus stochastiques et applications.  -  Hermann (1988).

  • (4) - DAUTRAY (R.) et al -   Méthodes probabilistes pour les équations de la physique.  -  Collection CEA, Eyrolles (1989).

  • (5) - DAUTRAY (R.), LIONS (J.L.) et al -   Analyse numérique et calcul numérique pour les sciences et les techniques.  -  Tomes 1, 2, 3 ; Collection CEA, Masson (1984) ; (1985).

  • (6) - DOOB (J.L.) -   Stochastic processes.  -  Wiley, New York (1953).

  • ...

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