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RÉSUMÉ
Les méthodes de Monte Carlo sont indispensables dans des domaines aussi variés que la finance, les télécommunications, la biologie ou encore les sciences sociales. Elles permettent de résoudre des problèmes centrés sur un calcul à l’aide du hasard. Cet article effectue une présentation de ces méthodes, au travers dans un premier temps des principes de base (calcul de sommes et intégrales, simulation à évènements discrets, etc.). Dans un second temps, une analyse de la précision de ces méthodes est proposée : elle aborde notamment les intervalles de confiance, les réplications indépendantes, les estimations par blocs, etc.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Gerardo RUBINO : Directeur de recherche - Institut national de recherche en informatique et en automatique (INRIA) - Institut de recherche en informatique et systèmes aléatoires (IRISA), Rennes
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Bruno TUFFIN : Chargé de recherche, INRIA, IRISA, Rennes
INTRODUCTION
Les méthodes de simulation Monte Carlo peuvent être vues comme des méthodes d'approximation, même s'il s'agit d'approximations au sens statistique du terme. Il n'y a pas un consensus absolu sur une définition précise de ce qu'est une technique de type Monte Carlo, mais la description la plus habituelle consiste à dire que les méthodes de ce type se caractérisent par l'utilisation du hasard pour résoudre des problèmes centrés sur un calcul. Elles sont en général applicables à des problèmes de type numérique, ou bien à des problèmes de nature elle-même probabiliste.
Du point de vue des applications, ces méthodes sont aujourd'hui indispensables dans des domaines aussi variés et différents que la finance, la mise au point de nouveaux microcomposants électroniques, la sismologie, les télécommunications, en ingénierie ou en physique, mais aussi en biologie, en sciences sociales, etc. Par exemple, en chimie, en physique, ou même en biologie, de nombreux problèmes exigent l'analyse des propriétés dynamiques d'un nombre tellement grand d'objets (particules atomiques, atomes, molécules ou macromolécules), que ceci ne peut se faire que par des techniques de type Monte Carlo.
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1. Présentation des méthodes de Monte Carlo
La résolution de nombreux problèmes scientifiques nécessite de calculer des sommes, des intégrales, ou encore de résoudre des équations ou des problèmes d'optimisation. Les techniques de calcul direct, encore appelées techniques analytiques, sont très vite dépassées par la complexité des modèles : elles nécessitent souvent des hypothèses trop fortes, de sorte qu'on ne peut pas les appliquer, ou alors, comme dans le cas de calcul de sommes, le nombre d'opérations requises peut être trop important pour être réalisé en un temps raisonnable. On doit alors nécessairement faire appel à des méthodes d'approximation. Cependant, celles-ci requièrent également des hypothèses fortes, bien que moins fortes que pour les méthodes analytiques. De plus, ces méthodes s'avèrent rapidement inefficaces dès que la dimension mathématique du problème augmente. Afin d'illustrer ce phénomène, on peut remarquer dans le tableau les vitesses de convergence des règles de quadrature habituelles pour le calcul d'intégrales multiples (n représente le nombre d'évaluations de la fonction à intégrer). Ce tableau montre qu'en augmentant la dimension s, on atteint vite des valeurs pour lesquelles les quadratures numériques deviennent rapidement inutilisables à cause de leur coût exponentiel en s.
Les méthodes de simulation de Monte Carlo peuvent être vues comme des méthodes d'approximation, même s'il s'agit d'appro-ximations au sens statistique du terme. Comme nous le verrons, ces méthodes sont moins exigeantes en termes d'hypothèses sur le modèle. Il n'y a pas un consensus absolu sur une définition précise de ce qu'est une technique de type Monte Carlo, mais la description la plus habituelle consiste à dire que les méthodes de ce type se caractérisent par l'utilisation du hasard pour résoudre des problèmes centrés sur un calcul. Elles sont en général applicables à des problèmes de type numérique, ou bien à des problèmes de nature elle-même probabiliste. On se sert aussi du hasard pour résoudre d'autres problèmes déterministes (par exemple, pour trier un vecteur) mais dans ce cas, l'objectif n'est pas ce qu'on associe habituellement au mot calcul et on ne parle pas de Monte Carlo (on utilise plutôt le terme « algorithme probabiliste » – randomized algorithm en anglais).
pour ce domaine, voir [15] et ses références.
Une...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BUCKLEW (J.A.) - Introduction to Rare Event Simulation - . Springer-Verlag, New York (2004).
-
(2) - CANCELA (H.), RUBINO (G.), TUFFIN (B.) - New measures of robustness in rare event simulation - . In F.B. Armstrong, M.E. Kuhl, N.M. Steiger and J.A. Joines (éd.), Proceedings of the 2005 Winter Simulation Conference, 519-527 (2005).
-
(3) - CHENG (R.C.H.), DAVENPORT (T.) - The problem of dimensionality in stratified sampling - . Management Science, 35(11), 1278-1296 (1989).
-
(4) - DEVROYE (L.) - Non-Uniform Random Variate Generation - . Springer-Verlag (1986).
-
(5) - FISHMAN (G.S.), HUANG (B.D.) - Antithetic Variates Revisited - . Communications of the ACM, 26(11), 964-971 (1983).
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(6) - FISHMAN (G.S.) - Monte Carlo : Concepts, Algorithms and Applications - . Springer-Verlag (1996).
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ANNEXES
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