Méthodes de quasi-Monte Carlo
Simulations et méthodes de Monte Carlo

AF600 v1 Article de référence

Méthodes de quasi-Monte Carlo
Simulations et méthodes de Monte Carlo

Auteur(s) : Gerardo RUBINO, Bruno TUFFIN

Relu et validé le 19 nov. 2019 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Présentation des méthodes de Monte Carlo

2 - Principes de base

2.1 - Calcul de sommes et intégrales
2.2 - Simulation à événements discrets
2.3 - Simulation de processus stochastiques
2.4 - Méthodes de Monte Carlo et problèmes de comptage
2.5 - MCMC
2.6 - Méthodes de Monte Carlo et résolution d'équations
2.7 - Méthodes de Monte Carlo et problèmes d'optimisation

3 - Analyse de la précision

3.1 - Intervalles de confiance
3.2 - Réplications indépendantes
3.3 - Réplications/délétions
3.4 - Méthodes régénératives
3.5 - Estimations par blocs
3.6 - Techniques utilisant les séries temporelles
3.7 - Bootstrap

4 - Techniques d'accélération

4.1 - Efficacité
4.2 - Cas des événements rares
4.3 - Réduction de la variance
4.4 - Réduction du temps de calcul

5 - Génération de nombres pseudo-aléatoires

5.1 - Génération d'une suite i.i.d., uniforme sur [0, 1]
5.2 - Génération d'autres lois

6 - Méthodes de quasi-Monte Carlo

6.1 - Principes
6.2 - Exemples de suites à discrépance faible
6.3 - Randomized QMC

Bibliographie & annexes

Présentation

RÉSUMÉ

Les méthodes de Monte Carlo sont indispensables dans des domaines aussi variés que la finance, les télécommunications, la biologie ou encore les sciences sociales. Elles permettent de résoudre des problèmes centrés sur un calcul à l’aide du hasard. Cet article effectue une présentation de ces méthodes, au travers dans un premier temps des principes de base (calcul de sommes et intégrales, simulation à évènements discrets, etc.). Dans un second temps, une analyse de la précision de ces méthodes est proposée : elle aborde notamment les intervalles de confiance, les réplications indépendantes, les estimations par blocs, etc.

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Auteur(s)

Gerardo RUBINO : Directeur de recherche - Institut national de recherche en informatique et en automatique (INRIA) - Institut de recherche en informatique et systèmes aléatoires (IRISA), Rennes
Bruno TUFFIN : Chargé de recherche, INRIA, IRISA, Rennes

INTRODUCTION

Les méthodes de simulation Monte Carlo peuvent être vues comme des méthodes d'approximation, même s'il s'agit d'approximations au sens statistique du terme. Il n'y a pas un consensus absolu sur une définition précise de ce qu'est une technique de type Monte Carlo, mais la description la plus habituelle consiste à dire que les méthodes de ce type se caractérisent par l'utilisation du hasard pour résoudre des problèmes centrés sur un calcul. Elles sont en général applicables à des problèmes de type numérique, ou bien à des problèmes de nature elle-même probabiliste.

Du point de vue des applications, ces méthodes sont aujourd'hui indispensables dans des domaines aussi variés et différents que la finance, la mise au point de nouveaux microcomposants électroniques, la sismologie, les télécommunications, en ingénierie ou en physique, mais aussi en biologie, en sciences sociales, etc. Par exemple, en chimie, en physique, ou même en biologie, de nombreux problèmes exigent l'analyse des propriétés dynamiques d'un nombre tellement grand d'objets (particules atomiques, atomes, molécules ou macromolécules), que ceci ne peut se faire que par des techniques de type Monte Carlo.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af600

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6. Méthodes de quasi-Monte Carlo

6.1 Principes

Les méthodes de Monte Carlo ont comme grand avantage, par rapport aux méthodes d'analyse numérique classiques, d'avoir une vitesse de convergence en $O (1 / \sqrt{n})$ (pour un échantillon de n points), donc indépendante de la dimension du problème. Néanmoins, il doit exister des suites de nombres telles que la convergence soit plus rapide, en supprimant l'aspect aléatoire. Cela conduit à s'intéresser aux méthodes dites de quasi-Monte Carlo (QMC) [16].

Ces méthodes approchent $\int_{{[0,1]}^{s}} f (x) d x$ par $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ^{(k)})$ où ${(ξ^{(k)})}_{k \in ℕ}$ est une suite déterministe. Comme nous voulons qu'il y ait asymptotiquement convergence quand n → + ∞, la suite ${(ξ^{(k)})}_{k \in ℕ}$ doit être équirépartie, d'où la notion de discrépance décrite ci-après :

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