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Article

1 - MÉTHODE RÉSISTANCE-CONTRAINTE

2 - MÉTHODES D'APPROXIMATION ET COUPLAGE MÉCANO-FIABILISTE

3 - PRODUITS DE L'ANALYSE DE FIABILITÉ

4 - CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Article de référence | Réf : BM5004 v2

Méthode résistance-contrainte
Approche probabiliste du dimensionnement - Modélisation de l'incertain et méthodes d'approximation

Auteur(s) : Maurice LEMAIRE

Date de publication : 10 avr. 2014

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RÉSUMÉ

Le dimensionnement des produits mécaniques et des ouvrages de génie civil n'est pas aisé à déterminer. Lorsque les données sont aléatoires, l'approche probabiliste calcule une probabilité de défaillance et des facteurs d'importance. Des méthodes d'approximation sont proposées pour une implémentation économique et validée, quels que soient les modèles des données et de comportement. Cet article décrit tout d'abord la méthode contrainte-résistance et introduit la notion d'indice de fiabilité. Il traite ensuite le cas général FORM / SORM puis la relation entre indice et probabilité. Il montre enfin comment les facteurs d'importance (sensibilité à la défaillance) permettent une optimisation du dimensionnement pour un objectif de fiabilité donné. Un exemple mécanique simple sert de fil conducteur.

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ABSTRACT

Probabilistic design approach. Uncertainty quantification and approximation methods

Designing mechanical products and civil engineering structures is faced with the uncertainty. When the data are random, the probabilistic approach calculates a probability of failure and importance factors. Methods of approximation are proposed for an economic and validated implementation, whatever the models of the data and of the behavior. This article describes the stress - strength method and introduces the concept of reliability index. It treats the more general case FORM / SORM and the link between index and probability. A simple mechanical system is used as reference example and shows how, beyond the application of rules, information obtained allows the designer an optimal design for a reliability objective given.

Auteur(s)

  • Maurice LEMAIRE : Professeur émérite à l'Institut français de mécanique avancée - Conseiller scientifique de Phimeca Engineering

INTRODUCTION

L'art du concepteur consiste à proposer une solution technique qui satisfait aux exigences fonctionnelles et qui garantit la sécurité vis-à-vis des biens, des personnes et de l'environnement. Les exigences fonctionnelles doivent s'assurer du bon fonctionnement des systèmes considérés, et parmi celles-ci de la fiabilité, c'est-à-dire de l'aptitude d'un dispositif à accomplir une fonction requise dans des conditions données, pendant une durée donnée. Le rôle du concepteur est alors de dimensionner de manière optimale en justifiant une fiabilité suffisante en fonction des risques, c'est-à-dire des conséquences redoutées par l'occurrence d'un événement indésirable : une fiabilité absolue ne peut pas exister et il subsiste toujours une possibilité d'échec. On peut dire aujourd'hui que le principe de précaution ne consiste qu'en la démonstration que toutes les connaissances actuelles ont été mises en œuvre pour que le gain obtenu par le succès du dispositif soit suffisant pour accepter le coût de l'échec éventuel dû à son dysfonctionnement. Ces quelques lignes situent le cadre de la démarche : elle propose une approche de la fiabilité théorique des systèmes mécaniques mais il faut noter qu'elle est susceptible d'applications dans bien d'autres domaines. Par fiabilité théorique, il faut comprendre tout ce que la modélisation permet de simuler pour prévoir les comportements possibles. Elle complète la fiabilité pratique qui est assimilée à la démarche qualité : la fiabilité théorique est conditionnée par la fiabilité pratique, par l'assurance qualité. Concevoir un système mécanique et calculer ses paramètres constituent une recherche d'un dimensionnement dont il faut justifier la fiabilité. L'article [BM 5 003] a introduit le concept de fiabilité théorique et mis en œuvre la solution par simulation de Monte-Carlo. Cet article s'intéresse à des solutions par approximation qui permettent une implémentation plus économique des calculs. Il introduit successivement la méthode résistance – contrainte, puis les méthodes d'approximation et de couplage mécano-fiabiliste et enfin les produits de l'analyse : c'est-à-dire les quantités d'intérêt mises à disposition du concepteur pour aider ses décisions. Enfin, il ouvre sur des perspectives. Le même exemple conducteur étant repris, il est donc indispensable de procéder tout d'abord à la lecture de l'article [BM 5 003].

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KEYWORDS

design   |   probabilistic methods   |   stress-strength   |   Civil engineering   |   mechanical engineering

VERSIONS

Il existe d'autres versions de cet article :

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v2-bm5004


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1. Méthode résistance-contrainte

Ce paragraphe traite du cas élémentaire dans lequel l'état-limite est défini comme la différence entre la résistance et la contrainte [BM 5 003, éq. 25].

1.1 Expressions de la probabilité de défaillance

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1.1.1 Définition de la probabilité de défaillance

R et S sont deux variables aléatoires indépendantes caractérisées par une densité conjointe de probabilité notée fR,S  (r, s ) égale au produit des densités marginales fR  (r ) fS  (s ).

La probabilité de défaillance Pf  , associée à la marge Z ≥ R – S, est le poids probabiliste de la partie de l'espace constituée par le domaine (figure 1) :

( 1 )

Le calcul n'est donc que celui d'une intégrale dont la valeur est une probabilité souvent très petite devant 1.

HAUT DE PAGE

1.1.2 Formules intégrales

  • Première expression de Pf

    Soit A l'événement {la sollicitation S ∊ [x, x + dx [ }...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - LEMAIRE (M.) -   Fiabilité des structures – Couplage mécano-fiabiliste statique.  -  Hermes Science Publication, 2005. En collaboration avec A. Chateauneuf et J.C. Mitteau. ISBN 2-7462-1057-6.

  • (2) - AU (S.K.), BECK (J.L.) -   Estimation of small failure probabilities in high dimensions by subset simulation.  -  Probabilistic Engineering Mechanics, 16, 2001.

  • (3) - GHANEM (R.G.), SPANOS (P.D.) -   Stochastic finite elements : A spectral approach  -  . Springer, Berlin, 1991.

  • (4) - BOSER (B.E.), GUYON (I.M.), VAPNIK (V.N.) -   A training algorithm for optimal margin classifiers.  -  In Fifth Annual Workshop on Computational Learning Theory, Pittsburgh, p. 144-152. ACM, 1992.

  • (5) - BOURINET (J.M.), DEHEEGER (F.), LEMAIRE (M.) -   Assessing small failure probabilities by combined subset simulation and support vector machines  -  . Structural Safety, 33 :343-353, 2011.

  • ...

1 Outils logiciels

La revue Structural Safety 28 (2006) a publié un numéro spécial récapitulant 10 logiciels disponibles dans le monde pour le calcul stochastique. Chaque logiciel est présenté et une illustration montre ce qu'il est possible d'en attendre pour des applications industrielles significatives. Il faut noter que l'offre « sortie des laboratoires » reste limitée au couplage mécano-fiabiliste mettant en œuvre les méthodes FORM/SORM, la simulation directe et conditionnée de Monte-Carlo et les méthodes de surface de réponse pour la fiabilité indépendante du temps. L'intérêt pratique des méthodes est croissant et les éditeurs de logiciels incluent de plus en plus souvent une offre.

Les outils logiciels suivants contiennent des implémentations des méthodes exposées dans ce cahier.

The Dakota project : Large-Scale Engineering Optimization and Uncertainty Analysis. http://dakota.sandia.gov/software.html

FERUM – Finite Element Reliability Using Matlab. http://www.ifma.fr/lang/en/Recherche/Labos/FERUM

OpenTURNS ( http://www.openturns.org/), issue d'une collaboration en France (EDF, EADS, Phimeca Engineering), librairie scientifique libre de modules en langage Python.

Phimeca-Soft – https://www.phimeca.com/Version 3.0 : sur base OpenTURNS

HAUT DE PAGE

2 Normes et standards

Eurocode 0 : Bases de calcul des structures (EN 1990) – http://www.afnor.org/profils/activite/construction/les-eurocodes/les-eurocodes.

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