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RÉSUMÉ
Pour obtenir une solution numérique en calcul des structures, on utilise généralement une approximation par éléments finis. Parfois, la prévision du comportement d’un système peut être difficile à cause des incertitudes. La prise en compte de ces dernières dans l’analyse est un domaine complexe qui comprend l’identification et la modélisation des sources d’incertitudes, leur propagation et le post-traitement pour mesurer leur influence sur le comportement général. Cet article s’intéresse à la modélisation probabiliste en mécanique en utilisant des métamodèles et propose des modèles robustes tenant compte des aléas : propriétés des matériaux, conditions aux limites et chargement et des applications industrielles.
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Abdelkhalak EL HAMI : Professeur des universités - LMN, INSA Rouen Normandie, France
INTRODUCTION
La simulation par éléments finis est un outil précieux pour estimer le comportement de systèmes mécaniques. Cependant, les incertitudes liées à ces systèmes (matériaux, géométrie, conditions, etc.) complexifient considérablement les prévisions. Pour améliorer la fiabilité des simulations, les chercheurs s'intéressent de plus en plus à la modélisation probabiliste, qui permet de prendre en compte la variabilité inhérente à ces systèmes.
La précision numérique et le contrôle d’erreur ont été utilisés dans des simulations pour des réponses dynamiques de structures. Parmi ces méthodes probabilistes, la plus fréquemment utilisée est l’approche statistique ou la technique d’échantillonnage, comme Monte-Carlo. Dans cette méthode, un grand nombre d’échantillons de variables d’entrée est requis pour une précision raisonnable. Le problème est alors résolu pour chaque réalisation. Cette technique est largement utilisée car elle est la plus facile à mettre en œuvre et très robuste. Toutefois, le nombre de réalisations doit être suffisant, c’est-à-dire que des FES déterministes de 105 ou de 106 doivent être exécutées afin d’obtenir des résultats précis.
En règle générale, lorsqu’on utilise des codes de simulation coûteux en calcul dans des problèmes d’ingénierie complexes, il devient peu pratique d’effectuer un grand nombre de simulations pour la quantification de l’incertitude ou l’optimisation de la conception. Une meilleure alternative consiste à utiliser des approximations des modèles originaux, souvent appelées métamodèles (ou modèles de substitution). Ces métamodèles visent à construire les modèles mathématiques afin de définir la relation entre les entrées et les sorties de systèmes spécifiques. Les modèles de substitution ont été principalement développés pour approximer les simulations déterministes. Les développements récents ont exploré leur utilisation dans l’analyse probabiliste et l’optimisation de la conception. Les méthodes de métamodélisation les plus populaires sont la méthodologie de surface de réponse polynomiale (PRS), le krigeage, la fonction de base radiale (RBF) et les machines à vecteurs de support (SVM).
Dans cet article, on présente des méthodes qui permettent d’écarter de la modélisation les facteurs n’ayant pas de poids sur la modélisation. Une fois cette sélection réalisée, on présente les plans d’expériences pour surface de réponse numérique, les plans de Doehlert et les plans Latin Hypercube. Après déroulement du plan d’expériences, on ajuste une surface de réponse sur la réalisation des essais par l’intermédiaire de régression PLS ou par krigeage. Une analyse de sensibilité est réalisée afin de connaître les facteurs qui apportent le plus de variabilité à la réponse. Une méthode de conception robuste par compensation de facteurs est ensuite appliquée, puis illustrée dans un système mécatronique.
On présente trois applications des métamodèles : analyse des sensibilités, étude d’un système mécatronique et étude d’un actionneur en alliage à mémoire de forme.
Le lecteur trouvera en fin d’article un glossaire des termes utilisés.
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Glossaire9. Conclusion
Les méthodes de modélisation de substitution sont devenues indispensables dans l’ingénierie moderne, car elles réduisent le coût de calcul des problèmes liés aux incertitudes. Dans cet article, on a présenté le concept du métamodèle et les méthodes probablistes basées sur les métamodèles pour le calcul de la fiabilité. En ce qui concerne l’analyse de sensibilité, il existe plusieurs méthodes. L’article s’est concentré sur les méthodes globales basées sur la décomposition de la variance et plus particulièrement sur les indices de sensibilité de Sobol. Cette analyse a été appliquée à un modèle de krigeage à l’aide d’un utilitaire Matlab.
Une méthode probabiliste permettant d’évaluer la fiabilité de boîtiers de technologie T-CSP est présentée. La prédiction de la fiabilité est obtenue par un calcul de la durée de vie en fatigue des joints de brasure du boîtier lorsqu’ils sont soumis à un chargement thermique accéléré. Un modèle par éléments finis du boîtier T-CSP est réalisé. En appliquant le modèle de Darveaux au taux de croissance des fissures, les densités d’énergie de déformation viscoplastique au niveau des interfaces substrat/joints de brasure et PCB/joints de brasure sont calculées. Un métamodèle de krigeage est utilisé pour estimer la relation entre la réponse et les variables d’entrée. En appliquant la méthode de Monte-Carlo (MCS) au métamodèle construit, cette approche permet de prendre en compte les incertitudes dans l’évaluation de la fiabilité des boîtiers électroniques T-CSP.
La méthode d’analyse de l’incertitude basée sur des modèles de substitution est appliquée sur une micro-pompe formée en alliage à mémoire de forme. L’approche proposée consiste à combiner la simulation par éléments finis (FES), les techniques de métamodélisation et la simulation de Monte-Carlo (MCS). Pour approximer la relation entre la réponse (sortie) et les variables de conception (entrées), des modèles QRS, RBF et krigeage sont utilisés afin de construire l’approximation. Selon les résultats des mesures d’erreur et de la validation croisée (CV), il a été démontré que les modèles de substitution du krigeage sont plus précis et mieux adaptés à ce système mécanique.
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Incertitudes ; optimisation et fiabilité des structures. - Hermès-Lavoisier (2013).
-
(2) - EL HAMI (A.), EID (M.) - Reliability-based Modeling of System Performance. - ISBN : 978-1-78630-835-1, Wiley & Son (New York) and ISTE (London), (220 pages) (2023).
-
(3) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Fluid-Structure Interactions and Uncertainties : Ansys and Fluent Tool. - John Wiley and Sons (2017).
-
(4) - RADI (B.), EL HAMI (A.) - The study of the dynamic contact in ultrasonic motor. - Applied Mathematical Modelling, vol. 34(12), p. 3767-3777 (2010).
-
(5) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Sécurité, fiabilité et optimisation des systèmes : théorie et applications. - Éditions-Ellipses, ISBN 978-2-7298-5279-5, Paris, 264 p. (2011).
-
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
1.1 Laboratoires – Bureaux d'études – Écoles – Centres de recherche (liste non exhaustive)
https://www.lmssc.cnam.fr/fr/recherche/Metamodeles-gradients
Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés CNAM Paris
Laboratoire de recherche, UMR 6602 – UCA/CNRS Clermont Auvergne INP
INP Grenoble Laboratoire Sciences pour la conception, l'optimisation et la production
Institut Clément Ader
Université Fédérale Toulouse Midi-Pvrénées/UMR CNRS 5312
ONERA de Toulouse
https://www.onera.fr/fr/rechercher ?s=m%C3%A9ta+modeles
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Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
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