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RÉSUMÉ
Pour obtenir une solution numérique en calcul des structures, on utilise généralement une approximation par éléments finis. Parfois, la prévision du comportement d’un système peut être difficile à cause des incertitudes. La prise en compte de ces dernières dans l’analyse est un domaine complexe qui comprend l’identification et la modélisation des sources d’incertitudes, leur propagation et le post-traitement pour mesurer leur influence sur le comportement général. Cet article s’intéresse à la modélisation probabiliste en mécanique en utilisant des métamodèles et propose des modèles robustes tenant compte des aléas : propriétés des matériaux, conditions aux limites et chargement et des applications industrielles.
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Abdelkhalak EL HAMI : Professeur des universités - LMN, INSA Rouen Normandie, France
INTRODUCTION
La simulation par éléments finis est un outil précieux pour estimer le comportement de systèmes mécaniques. Cependant, les incertitudes liées à ces systèmes (matériaux, géométrie, conditions, etc.) complexifient considérablement les prévisions. Pour améliorer la fiabilité des simulations, les chercheurs s'intéressent de plus en plus à la modélisation probabiliste, qui permet de prendre en compte la variabilité inhérente à ces systèmes.
La précision numérique et le contrôle d’erreur ont été utilisés dans des simulations pour des réponses dynamiques de structures. Parmi ces méthodes probabilistes, la plus fréquemment utilisée est l’approche statistique ou la technique d’échantillonnage, comme Monte-Carlo. Dans cette méthode, un grand nombre d’échantillons de variables d’entrée est requis pour une précision raisonnable. Le problème est alors résolu pour chaque réalisation. Cette technique est largement utilisée car elle est la plus facile à mettre en œuvre et très robuste. Toutefois, le nombre de réalisations doit être suffisant, c’est-à-dire que des FES déterministes de 105 ou de 106 doivent être exécutées afin d’obtenir des résultats précis.
En règle générale, lorsqu’on utilise des codes de simulation coûteux en calcul dans des problèmes d’ingénierie complexes, il devient peu pratique d’effectuer un grand nombre de simulations pour la quantification de l’incertitude ou l’optimisation de la conception. Une meilleure alternative consiste à utiliser des approximations des modèles originaux, souvent appelées métamodèles (ou modèles de substitution). Ces métamodèles visent à construire les modèles mathématiques afin de définir la relation entre les entrées et les sorties de systèmes spécifiques. Les modèles de substitution ont été principalement développés pour approximer les simulations déterministes. Les développements récents ont exploré leur utilisation dans l’analyse probabiliste et l’optimisation de la conception. Les méthodes de métamodélisation les plus populaires sont la méthodologie de surface de réponse polynomiale (PRS), le krigeage, la fonction de base radiale (RBF) et les machines à vecteurs de support (SVM).
Dans cet article, on présente des méthodes qui permettent d’écarter de la modélisation les facteurs n’ayant pas de poids sur la modélisation. Une fois cette sélection réalisée, on présente les plans d’expériences pour surface de réponse numérique, les plans de Doehlert et les plans Latin Hypercube. Après déroulement du plan d’expériences, on ajuste une surface de réponse sur la réalisation des essais par l’intermédiaire de régression PLS ou par krigeage. Une analyse de sensibilité est réalisée afin de connaître les facteurs qui apportent le plus de variabilité à la réponse. Une méthode de conception robuste par compensation de facteurs est ensuite appliquée, puis illustrée dans un système mécatronique.
On présente trois applications des métamodèles : analyse des sensibilités, étude d’un système mécatronique et étude d’un actionneur en alliage à mémoire de forme.
Le lecteur trouvera en fin d’article un glossaire des termes utilisés.
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Création du plan d’expérience2. Définition du plan de criblage ou screening
La technique du screening permet de déterminer les éléments influents dans un ensemble initial de facteurs. Il s’agit d’un procédé de sélection ou de criblage. De manière générale, toute variation de facteur induit des modifications des valeurs de la réponse. Cela est vrai pour tous les facteurs, mais à des échelles différentes. On compare les variations de la réponse suscitée par deux sources :
-
les variations du facteur étudié ;
-
les variations de grandeurs considérées comme n’ayant pas d’effet sur la réponse (bruit).
On effectue un test statistique permettant de rejeter ou non l’hypothèse selon laquelle le facteur n’induit pas de variations de la réponse significativement plus importantes que celles engendrées par le bruit. De manière équivalente, un facteur est jugé influent (ou déterminant) si son action sur la réponse étudiée est statistiquement supérieure à un certain niveau fixé par l’expérimentateur.
Par extension, le criblage permet de classer les facteurs entre eux, relativement à leur influence propre. Cette technique permet d’avancer dans la compréhension de tout système. Elle donne la possibilité de ne retenir que les grandeurs dignes d’intérêt. L’expérimentateur a tout intérêt à tester l’influence d’un grand nombre de facteurs, même s’il présuppose que certaines grandeurs ne sont pas influentes.
Pour tester l’influence d’une variable sur une autre, deux expériences suffisent. On fait varier la première avec le maximum d’amplitude, de sa borne inférieure à sa borne supérieure. On relève ensuite les deux valeurs correspondantes de la deuxième variable (la réponse en général). Cette stratégie est la plus couramment employée.
Lorsque plusieurs facteurs interviennent, l’application du principe statistique d’orthogonalité conduit à répéter l’opération précédente pour chacune des variables, lorsque les autres sont fixées successivement à leurs 2 valeurs possibles. Pour k facteurs, cela représente 2k expériences à réaliser. Ce processus calculatoire correspond au plan factoriel complet. Le principal inconvénient d’une telle méthode réside dans le nombre d’expériences nécessaires, vite dissuasif lorsque k devient important. Cependant,...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Incertitudes ; optimisation et fiabilité des structures. - Hermès-Lavoisier (2013).
-
(2) - EL HAMI (A.), EID (M.) - Reliability-based Modeling of System Performance. - ISBN : 978-1-78630-835-1, Wiley & Son (New York) and ISTE (London), (220 pages) (2023).
-
(3) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Fluid-Structure Interactions and Uncertainties : Ansys and Fluent Tool. - John Wiley and Sons (2017).
-
(4) - RADI (B.), EL HAMI (A.) - The study of the dynamic contact in ultrasonic motor. - Applied Mathematical Modelling, vol. 34(12), p. 3767-3777 (2010).
-
(5) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Sécurité, fiabilité et optimisation des systèmes : théorie et applications. - Éditions-Ellipses, ISBN 978-2-7298-5279-5, Paris, 264 p. (2011).
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
1.1 Laboratoires – Bureaux d'études – Écoles – Centres de recherche (liste non exhaustive)
https://www.lmssc.cnam.fr/fr/recherche/Metamodeles-gradients
Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés CNAM Paris
Laboratoire de recherche, UMR 6602 – UCA/CNRS Clermont Auvergne INP
INP Grenoble Laboratoire Sciences pour la conception, l'optimisation et la production
Institut Clément Ader
Université Fédérale Toulouse Midi-Pvrénées/UMR CNRS 5312
ONERA de Toulouse
https://www.onera.fr/fr/rechercher ?s=m%C3%A9ta+modeles
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QUIZ ET TEST DE VALIDATION PRÉSENTS DANS CET ARTICLE
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2/ Test de validation
Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.
Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
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