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RÉSUMÉ
Pour obtenir une solution numérique en calcul des structures, on utilise généralement une approximation par éléments finis. Parfois, la prévision du comportement d’un système peut être difficile à cause des incertitudes. La prise en compte de ces dernières dans l’analyse est un domaine complexe qui comprend l’identification et la modélisation des sources d’incertitudes, leur propagation et le post-traitement pour mesurer leur influence sur le comportement général. Cet article s’intéresse à la modélisation probabiliste en mécanique en utilisant des métamodèles et propose des modèles robustes tenant compte des aléas : propriétés des matériaux, conditions aux limites et chargement et des applications industrielles.
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Abdelkhalak EL HAMI : Professeur des universités - LMN, INSA Rouen Normandie, France
INTRODUCTION
La simulation par éléments finis est un outil précieux pour estimer le comportement de systèmes mécaniques. Cependant, les incertitudes liées à ces systèmes (matériaux, géométrie, conditions, etc.) complexifient considérablement les prévisions. Pour améliorer la fiabilité des simulations, les chercheurs s'intéressent de plus en plus à la modélisation probabiliste, qui permet de prendre en compte la variabilité inhérente à ces systèmes.
La précision numérique et le contrôle d’erreur ont été utilisés dans des simulations pour des réponses dynamiques de structures. Parmi ces méthodes probabilistes, la plus fréquemment utilisée est l’approche statistique ou la technique d’échantillonnage, comme Monte-Carlo. Dans cette méthode, un grand nombre d’échantillons de variables d’entrée est requis pour une précision raisonnable. Le problème est alors résolu pour chaque réalisation. Cette technique est largement utilisée car elle est la plus facile à mettre en œuvre et très robuste. Toutefois, le nombre de réalisations doit être suffisant, c’est-à-dire que des FES déterministes de 105 ou de 106 doivent être exécutées afin d’obtenir des résultats précis.
En règle générale, lorsqu’on utilise des codes de simulation coûteux en calcul dans des problèmes d’ingénierie complexes, il devient peu pratique d’effectuer un grand nombre de simulations pour la quantification de l’incertitude ou l’optimisation de la conception. Une meilleure alternative consiste à utiliser des approximations des modèles originaux, souvent appelées métamodèles (ou modèles de substitution). Ces métamodèles visent à construire les modèles mathématiques afin de définir la relation entre les entrées et les sorties de systèmes spécifiques. Les modèles de substitution ont été principalement développés pour approximer les simulations déterministes. Les développements récents ont exploré leur utilisation dans l’analyse probabiliste et l’optimisation de la conception. Les méthodes de métamodélisation les plus populaires sont la méthodologie de surface de réponse polynomiale (PRS), le krigeage, la fonction de base radiale (RBF) et les machines à vecteurs de support (SVM).
Dans cet article, on présente des méthodes qui permettent d’écarter de la modélisation les facteurs n’ayant pas de poids sur la modélisation. Une fois cette sélection réalisée, on présente les plans d’expériences pour surface de réponse numérique, les plans de Doehlert et les plans Latin Hypercube. Après déroulement du plan d’expériences, on ajuste une surface de réponse sur la réalisation des essais par l’intermédiaire de régression PLS ou par krigeage. Une analyse de sensibilité est réalisée afin de connaître les facteurs qui apportent le plus de variabilité à la réponse. Une méthode de conception robuste par compensation de facteurs est ensuite appliquée, puis illustrée dans un système mécatronique.
On présente trois applications des métamodèles : analyse des sensibilités, étude d’un système mécatronique et étude d’un actionneur en alliage à mémoire de forme.
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1. Notion de métamodèle
La simulation par éléments finis est une technique très puissante qui peut être appliquée pour obtenir une solution approximative de la réponse du système mécanique. Dans certains cas, la prévision du comportement d’un système est particulièrement difficile en raison de la variabilité induite par l’incertitude. Le défi consiste à améliorer les performances des simulations numériques du système mécanique. La prise en compte de ces incertitudes dans l’analyse des systèmes est un domaine complexe qui comprend les étapes suivantes : identification et modélisation des sources d’incertitude, propagation de l’incertitude et post-traitement pour mesurer l’influence de ces incertitudes sur le comportement du système. Récemment, la modélisation probabiliste de problèmes mécaniques a retenu l’attention de certains chercheurs. Ces derniers sont à la recherche de modèles plus robustes tenant compte de la nature aléatoire de certains paramètres : propriétés des matériaux, irrégularités géométriques, conditions limites et initiales et chargement.
Afin d'évaluer la précision des résultats obtenus lors de simulations numériques de la réponse dynamique des structures, des techniques de contrôle d'erreur sont employées. Parmi les approches probabilistes les plus courantes figure la méthode de Monte-Carlo. Celle-ci implique de réaliser un grand nombre de simulations en faisant varier aléatoirement les paramètres d'entrée, afin de construire une distribution statistique des résultats. Bien que cette méthode soit robuste et facile à implémenter, elle exige un coût de calcul élevé, nécessitant souvent des milliers à des millions de simulations pour obtenir une convergence satisfaisante. Lorsque les simulations numériques sont coûteuses en ressources, il est souvent nécessaire de recourir à des modèles simplifiés, appelés méta-modèles, pour étudier l'influence des incertitudes ou optimiser la conception de systèmes complexes. Ces métamodèles sont construits à partir d'un échantillon de résultats de simulations et permettent d'approximer la relation entre les variables d'entrée et les sorties du système. Les méta-modèles ont initialement été développés pour les simulations déterministes, mais leur utilisation s'est étendue à l'analyse probabiliste et à l'optimisation. Parmi les techniques de métamodélisation...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Incertitudes ; optimisation et fiabilité des structures. - Hermès-Lavoisier (2013).
-
(2) - EL HAMI (A.), EID (M.) - Reliability-based Modeling of System Performance. - ISBN : 978-1-78630-835-1, Wiley & Son (New York) and ISTE (London), (220 pages) (2023).
-
(3) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Fluid-Structure Interactions and Uncertainties : Ansys and Fluent Tool. - John Wiley and Sons (2017).
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(4) - RADI (B.), EL HAMI (A.) - The study of the dynamic contact in ultrasonic motor. - Applied Mathematical Modelling, vol. 34(12), p. 3767-3777 (2010).
-
(5) - EL HAMI (A.), RADI (B.) - Sécurité, fiabilité et optimisation des systèmes : théorie et applications. - Éditions-Ellipses, ISBN 978-2-7298-5279-5, Paris, 264 p. (2011).
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
1.1 Laboratoires – Bureaux d'études – Écoles – Centres de recherche (liste non exhaustive)
https://www.lmssc.cnam.fr/fr/recherche/Metamodeles-gradients
Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés CNAM Paris
Laboratoire de recherche, UMR 6602 – UCA/CNRS Clermont Auvergne INP
INP Grenoble Laboratoire Sciences pour la conception, l'optimisation et la production
Institut Clément Ader
Université Fédérale Toulouse Midi-Pvrénées/UMR CNRS 5312
ONERA de Toulouse
https://www.onera.fr/fr/rechercher ?s=m%C3%A9ta+modeles
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