Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Les systèmes hamiltoniens sont à la base de la description des systèmes physiques et des systèmes commandés largement utilisés dans les applications en mécanique, en automatique ou en robotique. Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens de dimension finie. Des résultats de base y sont principalement présentés en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales.
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Hamiltonian systems are at the basis of the description of physical systems and controlled systems which are widely used in mechanical, automatic or robotic applications. This article provides an overview of the modern calculation methods of variations applied to the search for periodic, homocline or heterocline solutions for Hamiltonian systems of finite dimension. The basic results are particularly presented by focusing on underlying ideas without trying to present the optimal hypothesis.
Auteur(s)
-
Denis BONHEURE : Chargé de recherches du FNRS (Fonds de la Recherche Scientifique), Belgique
-
Michel WILLEM : Professeur à l'université catholique de Louvain, Belgique
INTRODUCTION
Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens (de dimension finie). Nous y présentons principalement des résultats de base en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales. Nous renvoyons le lecteur aux articles originaux en [Doc. AF 160] pour des résultats plus complets et pour les détails techniques.
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Principes variationnels1. Applications, exemples et notations
Selon Héron d'Alexandrie, la trajectoire d'un rayon de lumière réfléchi par un miroir est plus courte que toute autre trajectoire réfléchie. L'égalité entre l'angle d'incidence et l'angle de réflexion se déduit immédiatement du principe de Hénon sachant que la droite est le chemin le plus court entre deux points.
Selon Descartes, la lumière se propage d'autant plus vite que le milieu est plus dense. La loi de la réfraction est une conséquence du principe de Descartes. En 1657, Fermat retrouve la même loi, en supposant que la lumière se propage d'autant plus vite que le milieu est moins dense et que le temps de parcours est minimal.
En 1696, Jean Bernoulli pose le problème de la brachistochrone. Comme le note Hadamard :
« Lorsque Jean Bernoulli posa au monde savant le problème de la courbe le long de laquelle un point pesant descend le plus vite possible d'un point donné A à un point donné B, force lui fut de considérer non pas seulement une courbe déterminée, donnée ou inconnue, mais l'ensemble des courbes que l'on peut imaginer tracées entre A et B, puisque la courbe cherchée doit être comparée à toutes les autres du point de vue du temps de descente employé par le mobile. »
En 1744, Maupertuis énonce le principe de moindre action. L'action le long d'une trajectoire de A à B est définie par l'intégrale curviligne :
où m représente la masse d'une particule et v sa vitesse.
S'il existe un potentiel V, l'énergie est conservée :
Cent ans plus tard, Jacobi définit l'action :
La particule décrit une courbe géodésique relative à la métrique
. Le principe de Jacobi est purement géométrique. Il faut reparamétrer les courbes géodésiques pour retrouver les solutions des équations de Newton :
Soit
l'énergie cinétique et V (t, x ) l'énergie potentielle d'un système mécanique. L'évolution du système est déterminée par les équations de Lagrange :
et par les conditions initiales :
D'après le principe de Hamilton...
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Applications, exemples et notations
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BROSSARD (J.-P.) - Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique. - [A 1 666] Base documentaire « Physique-Chimie » (1995).
-
(2) - CRÉTÉ (D.) - Convertisseurs analogiques/numériques supraconducteurs. - [RE 24] Base documentaire « Électronique » (2004).
-
(3) - DACOROGNA (B.) - Calcul des variations. - [AF 111] Base documentaire « Mathématiques pour l'Ingénieur » (2007).
ANNEXES
Références
BARTSCH (T.) - SZULKIN (A.) - Hamiltonian systems : periodic and homoclinic solutions by variational methods. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. II, p. 77-146 (2005).
BOSETTO (E.) - SERRA (E.) - A variational approach to chaotic dynamics in periodically forced nonlinear oscillators. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 17, no 6, p. 673-709 (2000).
BONHEURE (D.) - SANCHEZ (L.) - Heteroclinic orbits for some classes of second and fourth order differential equations. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. III, p. 103-202 (2006).
BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. - Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise, Masson, Paris, xiv+234 p. (1983).
CALDIROLI (P.) - NOLASCO (M.) - Multiple homoclinic solutions for a class of autonomous singular systems in R2. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 15, no 1, p. 113-125 (1998).
CLARKE (F.H.) - A classical variational principle for periodic hamiltonian trajectories. - Proc. Amer. Math. Soc., 76, no 1, p. 186-188 (1979).
COTI ZELATI (V.) - EKELAND (I.) - SÉRÉ (E.) - A variational approach to homoclinic orbits in hamiltonian systems. - Math. Ann., 288, no 1, p. 133-160 (1990).
COTI ZELATI (V.) - RABINOWITZ (P.H.) - Homoclinic orbits for second order hamiltonian systems possessing superquadratic potentials. - J. Amer. Math. Soc., 4, no 4, p. 693-727 (1991).
EKELAND (I.) - Convexity methods in hamiltonian mechanics. - Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), Springer-Verlag, Berlin, 19, x+247 p. (1990).
EKELAND (I.) - LASRY (J.-M.) - On the number of periodic trajectories for a hamiltonian flow on a convex energy surface. - Ann. of Math. (2), 112, no 2,...
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