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Article

1 - APPLICATIONS, EXEMPLES ET NOTATIONS

2 - PRINCIPES VARIATIONNELS

  • 2.1 - Éléments de calcul des variations
  • 2.2 - Espaces de Sobolev
  • 2.3 - Principes variationnels de la mécanique

3 - SOLUTIONS PÉRIODIQUES

  • 3.1 - Minimisation et période fixée
  • 3.2 - Minimisation et énergie fixée
  • 3.3 - Minimax et période fixée
  • 3.4 - Minimax et énergie fixée

4 - SOLUTIONS HOMOCLINES

  • 4.1 - Systèmes autonomes du second ordre
  • 4.2 - Systèmes périodiques du second ordre
  • 4.3 - Compacité et réversibilité
  • 4.4 - Systèmes lagrangiens singuliers
  • 4.5 - Systèmes hamiltoniens périodiques

5 - SOLUTIONS HÉTÉROCLINES

  • 5.1 - Systèmes autonomes ou périodiques du second ordre
  • 5.2 - Connections entre orbites périodiques

6 - SOLUTIONS MULTIBOSSES ET DYNAMIQUE CHAOTIQUE

  • 6.1 - Homoclines et hétéroclines multibosses
  • 6.2 - Pendule forcé chaotique

7 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : AF106 v1

Principes variationnels
Systèmes hamiltoniens : un aperçu variationnel

Auteur(s) : Denis BONHEURE, Michel WILLEM

Date de publication : 10 oct. 2008

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RÉSUMÉ

Les systèmes hamiltoniens sont à la base de la description des systèmes physiques et des systèmes commandés largement utilisés dans les applications en mécanique, en automatique ou en robotique. Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens de dimension finie. Des résultats de base y sont principalement présentés en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales.

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ABSTRACT

Hamiltonian systems are at the basis of the description of physical systems and controlled systems which are widely used in mechanical, automatic or robotic applications. This article provides an overview of the modern calculation methods of variations applied to the search for periodic, homocline or heterocline solutions for Hamiltonian systems of finite dimension. The basic results are particularly presented by focusing on underlying ideas without trying to present the optimal hypothesis.

Auteur(s)

  • Denis BONHEURE : Chargé de recherches du FNRS (Fonds de la Recherche Scientifique), Belgique

  • Michel WILLEM : Professeur à l'université catholique de Louvain, Belgique

INTRODUCTION

Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens (de dimension finie). Nous y présentons principalement des résultats de base en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales. Nous renvoyons le lecteur aux articles originaux en [Doc. AF 160] pour des résultats plus complets et pour les détails techniques.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af106


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2. Principes variationnels

2.1 Éléments de calcul des variations

Dans ce paragraphe, nous considérons un lagrangien :

Définition 1.

Soit .

L'action associée à L est définie sur par :

La variation première de en u dans la direction est définie par :

En dérivant sous le signe somme, nous trouvons le résultat suivant.

Lemme 1.

Pour tout , nous avons :

Nous interpréterons l'annulation de en utilisant le lemme fondamental du calcul des variations.

Nous posons :

Lemme 2.

Soit tels que, pour tout  :

Alors .

Le théorème suivant est une conséquence directe des deux lemmes précédents.

Théorème 1. Soit tel que, pour tout ...

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Sommaire

BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BROSSARD (J.-P.) -   Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique.  -  [A 1 666] Base documentaire « Physique-Chimie » (1995).

  • (2) - CRÉTÉ (D.) -   Convertisseurs analogiques/numériques supraconducteurs.  -  [RE 24] Base documentaire « Électronique » (2004).

  • (3) - DACOROGNA (B.) -   Calcul des variations.  -  [AF 111] Base documentaire « Mathématiques pour l'Ingénieur » (2007).

1 Sources bibliographiques

Références

BARTSCH (T.) - SZULKIN (A.) - Hamiltonian systems : periodic and homoclinic solutions by variational methods. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. II, p. 77-146 (2005).

BOSETTO (E.) - SERRA (E.) - A variational approach to chaotic dynamics in periodically forced nonlinear oscillators. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 17, no 6, p. 673-709 (2000).

BONHEURE (D.) - SANCHEZ (L.) - Heteroclinic orbits for some classes of second and fourth order differential equations. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. III, p. 103-202 (2006).

BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. - Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise, Masson, Paris, xiv+234 p. (1983).

CALDIROLI (P.) - NOLASCO (M.) - Multiple homoclinic solutions for a class of autonomous singular systems in R2. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 15, no 1, p. 113-125 (1998).

CLARKE (F.H.) - A classical variational principle for periodic hamiltonian trajectories. - Proc. Amer. Math. Soc., 76, no 1, p. 186-188 (1979).

COTI ZELATI (V.) - EKELAND (I.) - SÉRÉ (E.) - A variational approach to homoclinic orbits in hamiltonian systems. - Math. Ann., 288, no 1, p. 133-160 (1990).

COTI ZELATI (V.) - RABINOWITZ (P.H.) - Homoclinic orbits for second order hamiltonian systems possessing superquadratic potentials. - J. Amer. Math. Soc., 4, no 4, p. 693-727 (1991).

EKELAND (I.) - Convexity methods in hamiltonian mechanics. - Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), Springer-Verlag, Berlin, 19, x+247 p. (1990).

EKELAND (I.) - LASRY (J.-M.) - On the number of periodic trajectories for a hamiltonian flow on a convex energy surface. - Ann. of Math. (2), 112, no 2,...

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