Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Les systèmes hamiltoniens sont à la base de la description des systèmes physiques et des systèmes commandés largement utilisés dans les applications en mécanique, en automatique ou en robotique. Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens de dimension finie. Des résultats de base y sont principalement présentés en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales.
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Hamiltonian systems are at the basis of the description of physical systems and controlled systems which are widely used in mechanical, automatic or robotic applications. This article provides an overview of the modern calculation methods of variations applied to the search for periodic, homocline or heterocline solutions for Hamiltonian systems of finite dimension. The basic results are particularly presented by focusing on underlying ideas without trying to present the optimal hypothesis.
Auteur(s)
-
Denis BONHEURE : Chargé de recherches du FNRS (Fonds de la Recherche Scientifique), Belgique
-
Michel WILLEM : Professeur à l'université catholique de Louvain, Belgique
INTRODUCTION
Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens (de dimension finie). Nous y présentons principalement des résultats de base en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales. Nous renvoyons le lecteur aux articles originaux en [Doc. AF 160] pour des résultats plus complets et pour les détails techniques.
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Solutions hétéroclines4. Solutions homoclines
Considérons le lagrangien :
Les équations d'Euler-Lagrange mènent aux équations de Newton :
qui forment un système de N équations scalaires du second ordre. Lorsque N = 1 et que le lagrangien est conservatif, il est assez aisé de décrire les solutions de l'équation de Newton correspondante. Grâce à la conservation de l'énergie le long des solutions, nous pouvons représenter les trajectoires de celles-ci dans le plan des phases
. Considérons le cas concret d'un pendule simple non forcé. L'équation de Newton s'écrit :
avec a constante positive dépendant de la longueur du pendule.
L'énergie de la solution de conditions initiales (u0 , v0) est donnée par :
et la trajectoire de cette solution dans le plan des phases
est la courbe passant par (u0 , v0) et satisfaisant l'équation :
Les solutions d'énergie nulle sont les positions d'équilibre stables u = 2kπ,
, les solutions d'énergie H ∈ ]0, 2a[ décrivent des courbes fermées et sont périodiques tandis que les trajectoires des solutions d'énergie H > 2a sont des courbes non bornées. Toutes ces trajectoires sont décrites dans la figure . Lorsque l'énergie H vaut 2a, les solutions de l'intégrale d'énergie consistent en les positions d'équilibre instables u = (2k + 1)π,
et les graphes des fonctions :
En particulier, les solutions dont les trajectoires décrivent le graphe de la fonction
dans l'intervalle ]– π, π[ sont asymptotiques à π (respectivement à – π), lorsque t → + ∞...
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Solutions homoclines
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BROSSARD (J.-P.) - Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique. - [A 1 666] Base documentaire « Physique-Chimie » (1995).
-
(2) - CRÉTÉ (D.) - Convertisseurs analogiques/numériques supraconducteurs. - [RE 24] Base documentaire « Électronique » (2004).
-
(3) - DACOROGNA (B.) - Calcul des variations. - [AF 111] Base documentaire « Mathématiques pour l'Ingénieur » (2007).
ANNEXES
Références
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BOSETTO (E.) - SERRA (E.) - A variational approach to chaotic dynamics in periodically forced nonlinear oscillators. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 17, no 6, p. 673-709 (2000).
BONHEURE (D.) - SANCHEZ (L.) - Heteroclinic orbits for some classes of second and fourth order differential equations. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. III, p. 103-202 (2006).
BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. - Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise, Masson, Paris, xiv+234 p. (1983).
CALDIROLI (P.) - NOLASCO (M.) - Multiple homoclinic solutions for a class of autonomous singular systems in R2. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 15, no 1, p. 113-125 (1998).
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COTI ZELATI (V.) - EKELAND (I.) - SÉRÉ (E.) - A variational approach to homoclinic orbits in hamiltonian systems. - Math. Ann., 288, no 1, p. 133-160 (1990).
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EKELAND (I.) - Convexity methods in hamiltonian mechanics. - Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), Springer-Verlag, Berlin, 19, x+247 p. (1990).
EKELAND (I.) - LASRY (J.-M.) - On the number of periodic trajectories for a hamiltonian flow on a convex energy surface. - Ann. of Math. (2), 112, no 2,...
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