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RÉSUMÉ
La turbulence est un phénomène physique tellement complexe qu’à ce jour encore aucun modèle ne parvient à le mimer de manière satisfaisante, et ce même avec les performances actuelles de l’informatique. Cet article livre les fondements de la théorie de la turbulence et l’application des ondelettes à la dynamique des fluides. Il s’attarde sur l’exemple d’un écoulement bidimensionnel dans un canal perturbé par une rangée horizontale d’obstacles circulaires, traité à travers deux simulations numériques.
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Patrick FISCHER : Docteur en mathématiques - Maître de conférences - Laboratoire de mathématiques appliquées de Bordeaux - Université de Bordeaux I
INTRODUCTION
Le problème de la turbulence, et en particulier celui de la modélisation de la trainée d’un objet à travers un fluide (liquide ou gazeux), a occupé et fasciné des générations de scientifiques, de Léonard De Vinci au 16e siècle (figure 1) à nos jours. Des enjeux scientifiques, tels que la prédiction météorologique ou les changements climatiques par exemple, ainsi qu’économiques comme la conception de profils de voitures, d’avions ou de navires, reposent sur une meilleure compréhension des phénomènes turbulents. Malgré des années de recherche, aucune théorie complète de la turbulence n’a pu être développée.
L’application des ondelettes à la dynamique des fluides a fait l’objet de nombreuses publications depuis 1992 . L’idée principale développée dans ces publications est que le champ de vorticité d’un flot turbulent peut facilement être décomposé en parties cohérentes et incohérentes grâce à une décomposition en ondelettes orthogonales. La partie cohérente, correspondant aux coefficients en ondelettes les plus grands, est en fait composée des tourbillons, et la partie « incohérente », correspondant aux coefficients en ondelettes les plus petits, représente le reste de l’écoulement. Il n’existe cependant pas de définition bien établie de ce qui est cohérent et incohérent. Ainsi, pour certains auteurs, la séparation repose sur le caractère gaussien ou non de la PDF (fonction de densité de probabilités) : partie cohérente non gaussienne, et partie incohérente gaussienne. Cependant, dans une telle séparation, les filaments de vorticité, bien visibles dans le champ du même nom, se retrouvent partiellement dans la partie cohérente, et dans la partie incohérente. Pour d’autres, dont l’auteur de ce texte, les tourbillons et les filaments de vorticité possèdent une certaine cohérence.
Ce dossier propose de donner au lecteur les connaissances de base sur la théorie de la turbulence, ainsi que sur celle des ondelettes, lui permettant ainsi d’appréhender la complexité des phénomènes turbulents et d’utiliser les derniers outils mathématiques développés pour comprendre ces phénomènes.
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2. Ondelettes et paquets d’ondelettes
2.1 Rappels sur les ondelettes
L’intérêt de l’analyse de Fourier, largement utilisée pour étudier les composantes spectrales d’un phénomène, est de pouvoir décrire un système par ses caractéristiques fréquentielles plutôt que temporelles, venant ainsi compléter la représentation classique. Cependant, une mauvaise description dans une des deux représentations peut entraîner une mauvaise compréhension générale d’un phénomène. La représentation idéale est celle qui donne la meilleure description possible pour un système donné. Pour cela, l’utilisation d’une méthode qui puisse réaliser simultanément une analyse avec des paramètres de temps et de fréquence, comme une partition de musique où sont indiquées la fréquence et la durée des notes, est donc nécessaire. Nous présentons, dans cette partie, quelques exemples d’analyses temps-fréquence qui ont toutes en commun le principe de projection sur une famille de fonctions dépendant de deux variables respectivement reliées à la fréquence et au temps :
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ANGOT (Ph.), BRUNEAU (C.H.), FABRIE (P.) - A penalization method to take into account obstacles in incompressible viscous flow - . Numer. Math., 81 , no. 4, p. 497-520 (1999).
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(2) - ARQUES (P.), THIRION-MOREAU (N.), MOREAU (E.) - Les représentations temps-fréquences en traitement du signal - . Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle [R 308] (2000).
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(3) - BATCHELOR (G.K.) - Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence - . Phys. Fluids, 12 , II-233-II-239 (1969).
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(4) - BORUE (V.) - Inverse energy cascade in stationary two-dimensional homogeneous turbulence - . Phys. Rev. Lett., 72 , p. 1475-1478 (1994).
-
(5) - BRUNEAU (C.-H.), GREFFIER (O.), KELLAY (K.) - Numerical study of grid turbulence in two dimensions and comparison with experiments on turbulent soap films - . Phys. Rev. E, 60 , p. R1162 (1999).
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