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RÉSUMÉ
La turbulence est un phénomène physique tellement complexe qu’à ce jour encore aucun modèle ne parvient à le mimer de manière satisfaisante, et ce même avec les performances actuelles de l’informatique. Cet article livre les fondements de la théorie de la turbulence et l’application des ondelettes à la dynamique des fluides. Il s’attarde sur l’exemple d’un écoulement bidimensionnel dans un canal perturbé par une rangée horizontale d’obstacles circulaires, traité à travers deux simulations numériques.
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Patrick FISCHER : Docteur en mathématiques - Maître de conférences - Laboratoire de mathématiques appliquées de Bordeaux - Université de Bordeaux I
INTRODUCTION
Le problème de la turbulence, et en particulier celui de la modélisation de la trainée d’un objet à travers un fluide (liquide ou gazeux), a occupé et fasciné des générations de scientifiques, de Léonard De Vinci au 16e siècle (figure 1) à nos jours. Des enjeux scientifiques, tels que la prédiction météorologique ou les changements climatiques par exemple, ainsi qu’économiques comme la conception de profils de voitures, d’avions ou de navires, reposent sur une meilleure compréhension des phénomènes turbulents. Malgré des années de recherche, aucune théorie complète de la turbulence n’a pu être développée.
L’application des ondelettes à la dynamique des fluides a fait l’objet de nombreuses publications depuis 1992 . L’idée principale développée dans ces publications est que le champ de vorticité d’un flot turbulent peut facilement être décomposé en parties cohérentes et incohérentes grâce à une décomposition en ondelettes orthogonales. La partie cohérente, correspondant aux coefficients en ondelettes les plus grands, est en fait composée des tourbillons, et la partie « incohérente », correspondant aux coefficients en ondelettes les plus petits, représente le reste de l’écoulement. Il n’existe cependant pas de définition bien établie de ce qui est cohérent et incohérent. Ainsi, pour certains auteurs, la séparation repose sur le caractère gaussien ou non de la PDF (fonction de densité de probabilités) : partie cohérente non gaussienne, et partie incohérente gaussienne. Cependant, dans une telle séparation, les filaments de vorticité, bien visibles dans le champ du même nom, se retrouvent partiellement dans la partie cohérente, et dans la partie incohérente. Pour d’autres, dont l’auteur de ce texte, les tourbillons et les filaments de vorticité possèdent une certaine cohérence.
Ce dossier propose de donner au lecteur les connaissances de base sur la théorie de la turbulence, ainsi que sur celle des ondelettes, lui permettant ainsi d’appréhender la complexité des phénomènes turbulents et d’utiliser les derniers outils mathématiques développés pour comprendre ces phénomènes.
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3. Écoulements bidimensionnels dans un canal
Deux simulations numériques ont été réalisées.
Chacune d’elles consiste à simuler un écoulement dans un canal perturbé par une rangée horizontale d’obstacles circulaires. C’est une très bonne approximation d’un écoulement d’eau autour de piliers, supposés cylindriques (un pont, par exemple). Ces expérimentations sont représentées sur la figure 4. La longueur du canal, notée Ω, est quatre fois plus grande que sa largeur L. Le nombre de Reynolds pour les deux simulations, basé sur le diamètre des obstacles (égal à 0,1 × L) est Re = 50 000.
La première simulation repose sur la résolution numérique des équations de Navier-Stokes dont le domaine rectangulaire Ω est composé de Ω s pour les obstacles (5 disques), et Ω f pour le fluide. Cette simulation sera notée simulation I dans la suite. Dans la deuxième simulation, notée simulation II , deux rangées verticales de 9 petits disques, dont le diamètre est égal à 0,05 × L, sont ajoutées le long du canal. Ces rangées d’obstacles supplémentaires ont été ajoutées afin d’accroître la production de petits tourbillons et donc de favoriser le processus de concaténation à l’origine de la cascade inverse d’énergie.
Pour les deux simulations, les évolutions au cours du temps des deux composantes de la vitesse, de la vorticité et de la pression ont été relevées en six points différents situés sur une ligne verticale x 1 = 3L /8 entre x 2 = 5L /16 et x 2 = 15L /16. Une analyse, basée sur l’hypothèse de Taylor, de ces signaux temporels 1D a été réalisée en utilisant différents outils statistiques traditionnels. Les résultats, ainsi qu’une comparaison des différents outils utilisés, sont donnés dans ...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ANGOT (Ph.), BRUNEAU (C.H.), FABRIE (P.) - A penalization method to take into account obstacles in incompressible viscous flow - . Numer. Math., 81 , no. 4, p. 497-520 (1999).
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(2) - ARQUES (P.), THIRION-MOREAU (N.), MOREAU (E.) - Les représentations temps-fréquences en traitement du signal - . Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle [R 308] (2000).
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(3) - BATCHELOR (G.K.) - Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence - . Phys. Fluids, 12 , II-233-II-239 (1969).
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(4) - BORUE (V.) - Inverse energy cascade in stationary two-dimensional homogeneous turbulence - . Phys. Rev. Lett., 72 , p. 1475-1478 (1994).
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(5) - BRUNEAU (C.-H.), GREFFIER (O.), KELLAY (K.) - Numerical study of grid turbulence in two dimensions and comparison with experiments on turbulent soap films - . Phys. Rev. E, 60 , p. R1162 (1999).
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