Analyse multifractale en ondelettes pour l'analyse de données atmosphériques

La météorologie dynamique est l'étude des mouvements de l'atmosphère qui sont associés au climat et au temps. Pour l'étude de ces mouvements, la nature moléculaire particulaire de l'atmosphère peut être négligée, et l'atmosphère peut être considérée comme un fluide continu. Les différentes grandeurs physiques (pression, densité, température et vitesse) qui décrivent l'état de l'atmosphère possèdent alors une valeur unique en chaque point de ce continuum. Ces variables, ainsi que leurs dérivées, sont supposées continues en temps et en espace. Les lois fondamentales de la mécanique des fluides et de la thermodynamique permettent alors de décrire les mouvements de l'atmosphère sous la forme d'un sytème d'équations aux dérivées partielles dont les solutions sont les différentes grandeurs physiques.

Le système d'équations différentielles modélisant les mouvements de l'atmosphère est très complexe et il n'en existe pas à ce jour de solutions générales. Un certain nombre de simplifications et d'approximations numériques doivent être faites pour obtenir des prédictions météorologiques et climatiques à peu près fiables.

Parallèlement à la modélisation numérique, l'analyse de données expérimentales permet de mieux comprendre les phénomènes physiques impliqués, ainsi que de valider ou d'invalider les modèles numériques. Actuellement, la fiabilité des prédictions météorologiques obtenues par simulations numériques ne s'étend pas au delà de cinq, six jours. Ceci est largement dû à la nature chaotique des quantités physiques observables (vents, températures, pressions, etc.). De plus, certains phénomènes physiques sont observés sur plusieurs échelles d'espace ou de temps : la Q.B.O. (Quasi Biennal Oscillation) extratropicale avec une période moyenne de 28 mois, la E.N.S.O. (El Nino Southern Oscillation) avec une période de 4 ans ou le cycle solaire de 11 ans. Certaines oscillations sur des périodes plus petites sont bien connues, comme le cycle annuel, mais la compréhension de tous les phénomènes physiques se produisant à différentes échelles de temps représente un enjeu économique et écologique actuel conduisant à la publication de nombreux articles sur le sujet chaque année.

Les simulations numériques utilisées pour les prédictions météorologiques sont généralement basées sur des modèles décrivant la troposphère (couche inférieure de l'atmosphère) et les données stratosphériques (de la couche supérieure) sont généralement considérées comme ayant peu d'impact sur les évolutions météorologiques à la surface de la Terre. Cependant, de larges phénomènes stratosphériques persistant sur plusieurs semaines (ou plus) atteignent de temps en temps la surface de la Terre   . Selon Baldwin et Dunkerton, des mouvements importants anormaux dans les couches inférieures de la stratosphère peuvent être corrélés à des distributions de valeurs extrèmes de l'A.O. (Arctic Oscillation) et de la N.A.O. (North Atlantic Oscillation). Ces mouvements stratosphériques pourraient alors être utilisés comme prédicteurs de changements météorologiques dans la troposphère.

Afin de mieux décrire ces phénomènes météorologiques, nous proposons une analyse multifractale des données stratosphériques et troposphériques. L'intérêt des fractales en physique et dans d'autres disciplines a été relevé par Mandelbrot qui a développé la théorie dans les années 1980  . La théorie des objets fractals fournit les concepts mathématiques et les outils numériques pour la description des propriétés d'échelles. Pour des objets fractals avec une structure hiérarchique récursive, la connaissance de quelques étapes de raffinement suffit pour appréhender globalement le phénomène physique considéré. Mais certains objets physiques ne présentent pas une structure si ordonnée et nécessitent des outils d'analyse plus sophistiqués. Cette constatation a motivé le développement du formalisme multifractal par Parisi et Frisch   dans le cadre de l'étude de la turbulence.

Le formalisme multifractal basé sur la théorie des ondelettes a été introduit dans les années 1990 par Mallat  , Arnéodo   , Bacry  et Muzy . La transformée en ondelettes permet d'effectuer des zooms sur des structures bien localisées en jouant sur le paramètre d'échelle. Les singularités et les structures irrégulières correspondent souvent à des informations essentielles dans le signal analysé. La régularité locale du signal peut alors être décrite par la décroissance du module de la transformée en ondelettes à travers les échelles. De plus, les singularités peuvent être détectées en suivant les maxima locaux de la transformée en ondelettes aux petites échelles.