Le langage des ensembles
Langage des ensembles et des structures

2.1 Le vocabulaire de base

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2.1.1 Introduction

On ne définira pas ce qu’est un ensemble. On se contentera d’énoncer un certain nombre d’axiomes et de définitions, qui permettent de manipuler relations et opérations entre ensembles. Néanmoins, il est indispensable de donner du sens à ces axiomes, faute de quoi une utilisation intuitive des ensembles serait impossible. En d’autres termes, nous donnerons une présentation souvent qualifiée (sans aucun caractère péjoratif) de « naïve » de la théorie des ensembles, qui vise à associer, à chaque construction mentale pertinente, une construction symbolique.

A cette présentation naïve, on oppose souvent une théorie formalisée des ensembles ; en réalité, une telle présentation formalisée ne fait que reculer ou, si l’on veut, déplacer la recherche des fondements. En effet, la théorie formalisée s’appuie sur des énoncés logiques, dont le formalisme ne peut être recherché que dans le langage écrit. Les raisons, qui rendent un tel déplacement digne d’intérêt et, en définitive, fructueux, sont nombreuses, mais elles ne rencontrent pas toujours les motivations des mathématiciens, ou des utilisateurs de mathématiques, qui se contenteront d’un outil commode et universel. Cet article élémentaire se limitera donc à une présentation informelle.

2.1.2 Appartenance à un ensemble

Considérons les symboles (lettres) « a », « b », « c ».

• On peut construire à partir de ces trois éléments un ensemble : l’ensemble constitué exactement de ces trois lettres. On le note :

  $\left\{a,\mathrm{\hspace{0.17em}}b,\mathrm{\hspace{0.17em}}c\right\}$

  Désignons-le...