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Auteur(s)
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’école normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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L’article qui suit a pour seul objet de fournir un dictionnaire élémentaire des notions et des outils les plus communément employés. On n’y cherchera ni théorie élaborée, ni même approche formaliste. Seules les définitions sont données. Les résultats qu’appelleraient les théories correspondantes (théorie des ensembles ordonnés, des groupes, des anneaux et des corps) ne sont en aucun cas fournis. Ils feront l’objet, pour certains d’entre eux, d’articles spécifiques.
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3. Les structures algébriques fondamentales
3.1 Introduction
Un ensemble en soi présente peu d’intérêt. Ce qui peut en faire la richesse, ce sont les relations que nouent entre eux ses éléments (par exemple une relation d’ordre), et les opérations que l’on est susceptible d’effectuer à partir de certains d’entre eux. Une opération possède une arité : c’est le nombre des opérandes qu’elle met en jeu. Le produit mixte, dans un espace vectoriel euclidien de dimension 3, est d’arité 3, tandis que le produit vectoriel est d’arité 2. Le passage à l’opposé (noté par le signe « moins », dit « moins unaire ») est d’arité 1. En réalité, les opérations de base (somme, produit, différence, etc.) sont le plus souvent d’arité 2. Ce seront ces opérations binaires qui nous intéresseront au premier chef. Une opération ne peut certes être n’importe quelle application de deux variables. Nous verrons, dans les structures que nous allons étudier (essentiellement celles de groupe, d’anneau et de corps), qu’une opération présente un intérêt immédiat à partir du moment où les règles de calcul sont celles auxquelles nous sommes habitués, par exemple, lorsque nous manipulons des nombres réels. Cependant, de très nombreuses situations a priori complexes peuvent être élucidées et simplifiées par l’introduction d’opérations adaptées, quitte parfois à en appauvrir les propriétés. De cette manière, le calcul matriciel ne différera guère du calcul usuel, et la manipulation des isométries sera analogue à celle des permutations d’un ensemble.
HAUT DE PAGE3.2 Loi de composition interne
Définition 22 : soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne dans E toute application de
vers E.
Notation.
On peut utiliser la notation fonctionnelle ; si l’on note :
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