Les structures algébriques fondamentales
Langage des ensembles et des structures

3.1 Introduction

Un ensemble en soi présente peu d’intérêt. Ce qui peut en faire la richesse, ce sont les relations que nouent entre eux ses éléments (par exemple une relation d’ordre), et les opérations que l’on est susceptible d’effectuer à partir de certains d’entre eux. Une opération possède une arité : c’est le nombre des opérandes qu’elle met en jeu. Le produit mixte, dans un espace vectoriel euclidien de dimension 3, est d’arité 3, tandis que le produit vectoriel est d’arité 2. Le passage à l’opposé (noté par le signe « moins », dit « moins unaire ») est d’arité 1. En réalité, les opérations de base (somme, produit, différence, etc.) sont le plus souvent d’arité 2. Ce seront ces opérations binaires qui nous intéresseront au premier chef. Une opération ne peut certes être n’importe quelle application de deux variables. Nous verrons, dans les structures que nous allons étudier (essentiellement celles de groupe, d’anneau et de corps), qu’une opération présente un intérêt immédiat à partir du moment où les règles de calcul sont celles auxquelles nous sommes habitués, par exemple, lorsque nous manipulons des nombres réels. Cependant, de très nombreuses situations a priori complexes peuvent être élucidées et simplifiées par l’introduction d’opérations adaptées, quitte parfois à en appauvrir les propriétés. De cette manière, le calcul matriciel ne différera guère du calcul usuel, et la manipulation des isométries sera analogue à celle des permutations d’un ensemble.

3.2 Loi de composition interne

Notation.

On peut utiliser la notation fonctionnelle ; si l’on note :