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RÉSUMÉ
Sujet classique des mathématiques, le calcul des variations a fait couler beaucoup d'encre et sur un grand nombre d'échanges, les modèles proposés étant souvent exprimés en termes de minimalité ou maximalité. Les méthodes classiques (équation d’Euler-Lagrange, formulation hamiltonienne et équation de Hamilton-Jacobi) et les méthodes directes (espaces de Sobolev, résultat général et régularité) sont ici explicitées. Le cas vectoriel des méthodes directes est ensuite abordé à l’aide des différentes notions de convexité et d’un résultat d’existence. Les problèmes non convexes du calcul des variations viennent terminer cet article : différentes enveloppes, théorème de relaxation et divers exemples.
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Bernard DACOROGNA : Professeur, Section de mathématiques EPFL (École polytechnique fédérale de Lausanne), Suisse
INTRODUCTION
Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathématiques. Il a attiré un grand nombre de mathématiciens célèbres. Avant de présenter le cas modèle le plus important, nous allons commencer par une discussion informelle. En mathématiques, en physique, dans les sciences de l'ingénieur ou même en économie ou en écologie, les modèles sont souvent exprimés en termes d'un principe de minimalité ou de maximalité. C'est précisément la question centrale du calcul des variations. Par exemple, en mathématiques, on peut être intéressé à trouver, sous certaines contraintes, une courbe de longueur minimale ou une surface d'aire minimale. En physique, un exemple typique est le principe de moindre action ; d'autres exemples seront donnés dans cet exposé de manière plus détaillée. Par ailleurs, les lois de conservation, qui correspondent mathématiquement à des équations différentielles, sont souvent dérivées à partir d'un principe variationnel. Les solutions du problème variationnel sont alors des solutions d'équations différentielles associées.
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3. Méthodes directes
En première lecture, il peut sembler que les méthodes classiques, présentées dans le paragraphe , donnent un cadre suffisamment souple pour traiter les problèmes du calcul des variations. Toutefois une lecture attentive montre trois faiblesses importantes de ces méthodes :
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nous n'avons jamais montré que le problème considéré admet une solution. On a donc un problème d'existence ;
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même si la question d'existence était résolue, les conditions nécessaires que doit satisfaire le minimiseur supposent qu'on sait résoudre des équations différentielles telles que l'équation d'Euler-Lagrange, le système hamiltonien associé ou l'équation de Hamilton-Jacobi. Or cela est un problème, en général, très difficile. En fait les méthodes modernes consistent à procéder exactement à l'inverse. On montre que le problème variationnel admet un minimiseur et, ainsi, on trouve une solution de l'équation différentielle correspondante ;
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le troisième point est plus subtil, c'est un problème de régularité. Si on regarde en détail les énoncés et les démonstrations des théorèmes du paragraphe , on s'aperçoit qu'on requiert presque toujours que le minimiseur est au moins C 1 voire le plus souvent C 2. Or cela est un problème très délicat que nous discuterons brièvement plus loin.
Les méthodes directes, développées au début du 20e siècle avec les travaux de Hilbert puis ceux de Lebesgue et Tonelli sur l'intégrale de Dirichlet, sont une tentative de remédier aux faiblesses des méthodes classiques. L'idée est de séparer les problèmes d'existence de ceux de régularité.
1) On commence par élargir suffisamment l'espace des fonctions admissibles pour obtenir (cf. § 3.2 ou § 4.2...
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BIBLIOGRAPHIE
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(3) - BOLZA (O.) - Lectures on the calculus of variations - . Chelsea Publication, New York (1946).
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(5) - CARATHÉODORY (C.) - Calculus of variations and partial differential equations of the first order - . Holden Day, San Francisco (1965).
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