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Auteur(s)
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Gilles CHÂTELET : Ancien Élève de l’École Normale Supérieure de St-Cloud - Docteur ès Sciences Mathématiques - Professeur à l’Université de Paris VIII
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En mécanique classique, et spécialement en mécanique newtonienne, les effets physiques résultent des forces agissant sur les corps solides. Comme objet mathématique, la force est un vecteur. Il existe une définition intrinsèque purement opératoire des vecteurs comme éléments d’un espace vectoriel E sur un corps K (article Calcul matriciel dans le présent traité). Nous verrons 1.1 qu’il existe une autre définition des vecteurs, plus satisfaisante pour le physicien, et d’ailleurs plus fructueuse d’inspiration pour le mathématicien. Certains domaines de la physique, en particulier la mécanique des milieux continus (article [A 303] Déformation et contraintes dans un milieu continu et autres articles de la rubrique Calcul des structures dans le présent traité), privilégient d’autres concepts mathématiques : en particulier le concept de tenseur.
Il existe deux définitions équivalentes des tenseurs en dimension finie (dans la suite de cet article, nous nous limiterons au calcul tensoriel sur les espaces de dimension finie) :
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le calcul tensoriel intrinsèque, qui est l’introduction d’une multiplication formelle sur un espace vectoriel ;
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le calcul tensoriel des physiciens : un tenseur est un tableau de nombres attaché à une base particulière de l’espace vectoriel E et se transforme suivant une loi donnée par changement de base.
Le présent article comprend quatre paragraphes :
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un premier paragraphe précise, pour les vecteurs et les formes, les notions de covariance et de contravariance ;
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un deuxième paragraphe, inspiré par l’exemple précédent, donne les définitions des tenseurs et établit leur équivalence ;
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un troisième paragraphe étudie spécifiquement le produit extérieur et la définition des déterminants ;
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le paragraphe 4 donne une application des tenseurs à la relativité restreinte et à l’électromagnétisme.
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1. Dualité. Covariance et contravariance dans un espace vectoriel
On considère un espace vectoriel E de dimension n sur un corps K.
Le plus généralement, K désigne le corps
des réels, le corps
des rationnels ou le corps
des complexes.
1.1 Les vecteurs des physiciens. Contravariance
Soient
deux bases de E. Rappelons les relations donnant les composantes d’un vecteur x de E sur la base (fj ) en fonction de celles associées à la base (ei ) (article Calcul matriciel dans le présent traité).
On part de
.
Si...
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