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Équations différentielles| Réf : AF104 v1
Auteur(s) : Guoting CHEN, Jean DELLA DORA
Date de publication : 10 oct. 2007
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Ce sont des équations associées à un opérateur L = a 0 τ r + ... + a r , mais, maintenant, les a i sont des fonctions de n. On écrira donc, pour tout entier n :
pour une équation non homogène.
Nous allons considérer le cas des équations homogènes.
Comment suivre la même démarche que dans le cas des équations à coefficients constants ?
Il faut tout d'abord comprendre l'arithmétique de ces opérateurs et se poser la question de la possibilité d'une décomposition de l'opérateur L.
Pour cela, il faut faire des hypothèses sur l'ensemble auquel appartiennent les coefficients a i . Classiquement, on commence par supposer que ces coefficients sont des fractions rationnelles en la variable n. On introduit donc le corps
des fractions rationnelles en n.
Ce corps possède un automorphisme (injectif) que nous avons déjà rencontré, c'est τ :
Si
alors :
On introduit alors l'ensemble des polynômes (associée à τ ) sur
, que l'on pourrait noter :
(E...
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