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RÉSUMÉ
Les équations aux différences sont le support de nombreux algorithmes d’analyse numérique et sont également omniprésentes en combinatoire. Quelques définitions et exemples ouvrent cet article. Puis, les équations aux différences linéaires scalaires et à coefficients non constants sont exposées. Les systèmes linéaires aux différences à singularité sont ensuite longuement étudiés. Ils sont abordés au travers entre autres de l’analyse des premières réductions des systèmes aux différences, de la réductibilité des systèmes linéaires aux différences inversibles, de l’ordre d’un système linéaire aux différences, etc.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Guoting CHEN : Maître de conférences, laboratoire Paul-Painlevé, CNRS - UFR de mathématiques, université de Lille-1
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Jean DELLA DORA : Professeur, laboratoire Jean-Kuntzmann, CNRS - Institut national polytechnique de Grenoble (INPG), université Joseph-Fourier
INTRODUCTION
Les équations aux différences sont à la base de l'analyse appliquée depuis L. Euler, P. L. Tchebycheff et A. A. Markov. Actuellement, elles sont le support de nombreux algorithmes d'analyse numérique et omniprésentes en combinatoire.
Mais peut-on parler de théorie des équations aux différences ?
La réponse est certainement non. Les équations aux différences non linéaires restent un sujet difficile et d'actualité pour les mathématiciens (au même titre que les équations différentielles ordinaires, voir à ce sujet les articles « Équations différentielles linéaires » [AF 103] et « Équations différentielles » [AF 652]).
Cependant, une partie de la théorie est bien comprise : c'est la partie relative aux équations aux différences linéaires. Dans cet exposé nous nous limitons à en exposer les points fondamentaux.
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4. Systèmes linéaires aux différences à singularité
4.1 Introduction et notations
Commençons par reprendre l'exemple 7. L'étude de la fonction Γ ne se limite pas à ses valeurs entières. On peut s'interroger sur l'extension de cette fonction aux valeurs réelles ou complexes de l'argument, c'est-à-dire de considérer la fonction Γ définie sur
et vérifiant l'équation fonctionnelle : Γ (x + 1) = xΓ (x ), dont le comportement asymptotique est bien étudié.
Nous adoptons ce point de vue dans la suite, c'est-à-dire que nous étudions maintenant les équations aux différences dont l'inconnue est une fonction d'une variable complexe. L'opérateur de translation est
et nous avons τ (a )(x ) = a (x + 1), pour une fonction a (x ) donnée. Nous nous intéressons aux équations aux différences dont les solutions présentent une singularité à l'infini et aux comportements asymptotiques de ces solutions.
Fixons d'abord quelques notations qui seront utilisées dans la suite.
Soit s un entier positif. On désigne par
l'anneau des séries formelles en x –1/s à coefficients dans
, et
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