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Équations différentielles| Réf : AF104 v1
Auteur(s) : Guoting CHEN, Jean DELLA DORA
Date de publication : 10 oct. 2007
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Commençons par reprendre l'exemple 7. L'étude de la fonction Γ ne se limite pas à ses valeurs entières. On peut s'interroger sur l'extension de cette fonction aux valeurs réelles ou complexes de l'argument, c'est-à-dire de considérer la fonction Γ définie sur
et vérifiant l'équation fonctionnelle : Γ (x + 1) = xΓ (x ), dont le comportement asymptotique est bien étudié.
Nous adoptons ce point de vue dans la suite, c'est-à-dire que nous étudions maintenant les équations aux différences dont l'inconnue est une fonction d'une variable complexe. L'opérateur de translation est
et nous avons τ (a )(x ) = a (x + 1), pour une fonction a (x ) donnée. Nous nous intéressons aux équations aux différences dont les solutions présentent une singularité à l'infini et aux comportements asymptotiques de ces solutions.
Fixons d'abord quelques notations qui seront utilisées dans la suite.
Soit s un entier positif. On désigne par
l'anneau des séries formelles en x –1/s à coefficients dans
, et
le corps de séries formelles de Laurent en x –1/s à coefficients dans
. Le corps des séries formelles de Puiseux est
....
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