Article de référence | Réf : AF99 v1

Espaces compacts
Topologie et mesure

Auteur(s) : Gilles GODEFROY

Date de publication : 10 avr. 2003

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Présentation

Auteur(s)

  • Gilles GODEFROY : Directeur de recherches - au Centre national de la recherche scientifique CNRS

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INTRODUCTION

Cet article constitue un préliminaire à l’analyse fonctionnelle puisqu’il s’agit de l’étude de la topologie et de la mesure. Pour cela, il faut faire connaissance avec les concepts qui éclairent la formalisation : espaces métriques, espaces complets, espaces compacts, espaces normés et espaces de Banach. Les espaces normés de dimension finie, les espaces de Hilbert et les espaces de Banach non euclidiens font l’objet de l’article suivant [AF 100].

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af99


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2. Espaces compacts

Une fonction bornée, définie sur un ensemble E et à valeurs réelles n’atteint pas en général ses bornes, ce qui oblige à manipuler des «   », c’est-à-dire des termes d’erreur, dans de nombreux calculs. La compacité d’un espace métrique permet d’éviter ce problème.

Définition : soit un espace métrique. L’espace est dit compact si lorsqu’on écrit E comme une réunion de sous-ensemble ouverts :

Il existe une sous-famille finie telle que :

En d’autres termes, de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini. Voici deux propriétés importantes de ces espaces.

Proposition 1 : soit un espace métrique compact. Si est une suite décroissante de sous-ensembles fermés non vides de E, alors . En particulier,...

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