Théorie de la mesure et intégration
Topologie et mesure

Le calcul des surfaces, donc de la mesure de sous-ensembles simples du plan, est aussi ancien que l’agriculture et remonte donc aux mathématiques les plus archaïques. Les parties du plan dont l’aire est la plus facile à calculer sont les polygones ; il suffit en effet de les écrire comme réunion disjointe (aux côtés près) de triangles et de faire la somme des aires de ces triangles. Lorsque l’on doit mesurer des surfaces plus compliquées, il est naturel de les encadrer entre deux polygones « interne » et « externe » dont la différence des aires est assez petite. C’est ainsi que procède Archimède pour calculer l’aire du disque ou l’aire limitée par une parabole et une corde.Cette idée géométrique simple est à la base de la théorie de la mesure, telle que H. Lebesgue et ses émules l’ont développée à partir de 1901. Il faut attribuer une « mesure » (longueur, surface, volume…) $m_n\left(\mathrm{A}\right)$ à une partie A de ${ℝ}^n$ aussi générale que possible, de façon à ce que les propriétés suivantes soient satisfaites :

• (i) si $\mathrm{A}\subseteq {ℝ}^n$ est un pavé ouvert de la forme $\mathrm{A}=\left]{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{\hspace{0.17em}b}}_1\right[\times \left]{\mathrm{a}}_2,{\mathrm{\hspace{0.17em}b}}_2\right[\times \dots \times \left]{\mathrm{a}}_n,{\mathrm{\hspace{0.17em}b}}_n\right[$