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1 - DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS DE F  (A)

  • 1.1 - Exemples de fonctions de matrices
  • 1.2 - Définitions de f  (A)
  • 1.3 - Propriétés de f  (A)

2 - MÉTHODES DE CALCUL DE F  (A)

  • 2.1 - Méthodes d'approximation
  • 2.2 - Méthodes de factorisation
  • 2.3 - Exponentielle
  • 2.4 - Logarithme
  • 2.5 - Racine carrée
  • 2.6 - Fonction signe
  • 2.7 - Prétraitements
  • 2.8 - Logiciels
  • 2.9 - Exemples numériques

3 - MÉTHODES POUR F  (A)V

  • 3.1 - Méthodes directes
  • 3.2 - Méthodes de Krylov
  • 3.3 - Logiciels
  • 3.4 - Exemples numériques

4 - MÉTHODES POUR UTF  (A)V

  • 4.1 - Logiciels
  • 4.2 - Exemples numériques

5 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : AF486 v1

Méthodes pour f  (A)v
Calcul de fonctions de matrices

Auteur(s) : Gérard MEURANT

Relu et validé le 26 avr. 2021

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RÉSUMÉ

On rappelle les définitions d’une fonction f(A) d’une matrice carrée à coefficients réels ou complexes. On présente ensuite des méthodes numériques permettant de calculer les éléments de f(A), l’action sur un vecteur donné f(A)v ou des formes bilinéaires utf(A)v où interviennent deux vecteurs.

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ABSTRACT

Matrix Functions Computations

We first recall what is a matrix function f(A) of a square matrix with real or complex entries.Then we describe numerical methods to compute all the entries of f(A), the action on a given vector f(A)v or bilinear forms utf(A)v with two given vectors.

Auteur(s)

INTRODUCTION

Cet article est consacré au calcul de fonctions de matrices. Avant de définir ce qu’elles sont, expliquons brièvement ce qu’elles ne sont pas. Supposons que l’on ait une fonction f suffisamment régulière et une matrice carrée A d’ordre n à coefficients a i,j, réels ou complexes. La matrice f  (A) d’ordre n n’est pas la matrice dont les éléments sont f  (a i,j), auquel cas le calcul serait trivial. Les définitions de f  (A) rappelées ci-dessous visent à reproduire, pour une matrice, la plupart des propriétés des fonctions scalaires. Dans une première partie, on présentera les définitions et les principales méthodes de calcul de tous les éléments de f  (A). Cette partie est inspirée du livre  qui contient l’état de l’art concernant le calcul de f  (A), encore que certaines des méthodes décrites aient été légèrement améliorées depuis la parution de ce livre. On pourra également consulter  avec profit.

Les algorithmes pour f  (A) visent à calculer les n 2 éléments de la matrice. On utilise souvent des méthodes basées sur des factorisations de la matrice A à l’aide de transformations orthogonales et/ou des approximations de la fonction f permettant un calcul plus facile, par exemple des polynômes ou des fractions rationnelles. Les algorithmes correspondants ont donc un coût proportionnel à n 3 . Il n’est donc pas faisable, même avec les ordinateurs puissants dont on dispose aujourd’hui, de calculer f  (A) pour des matrices de très grande taille. Il se trouve que de nombreuses applications n’ont besoin que de calculer f  (A)vv est un vecteur donné. Ceci peut être fait, sans calculer explicitement tous les éléments de f  (A), à l’aide de méthodes itératives de Krylov qui peuvent s’appliquer à de très grandes matrices creuses et que nous décrirons dans une deuxième partie.

Enfin, il existe d’autres applications pour lesquelles on n’a besoin que de calculer des scalaires uT f  (A)v, u et v étant des vecteurs donnés. Les méthodes pour calculer efficacement des bornes ou des approximations de ces quantités seront présentées dans une troisième et dernière partie.

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KEYWORDS

matrix functions   |   mathematical software   |   scientific computing   |   engineering mathematics

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af486


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3. Méthodes pour f  (A)v

Dans cette section, on décrit des méthodes pour calculer l’application de f  (A) à un vecteur v sans calculer tous les éléments de f  (A).

3.1 Méthodes directes

Une méthode pour calculer eA v est décrite dans . Cet article s’intéresse également à la résolution d’équations différentielles non linéaires. La méthode utilisée peut être qualifié de directe car elle est basée sur les résultats de . La différence est qu’au lieu d’utiliser un approximant de Padé de l’exponentielle, on se sert de la série de Taylor après avoir fait une mise à l’échelle. On a donc e Av ≈ ((Tm (s −1 A)) svTm représente la troncature de la série de Taylor. Les valeurs de m et s sont calculées comme dans  en obtenant des bornes du reste et en minimisant l’erreur inverse et le coût.

On pourra également consulter ...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - AFANASJEW (M.), EIERMANN (M.), ERNST (O.G.), GÜTTEL (S.) -   Implementation of a restarted Krylov subspace method for the evaluation of matrix functions  -  Linear Algebra Appl., vol. 429, p. 2293-2314 (2008).

  • (2) - AL-MOHY (A.H.), HIGHAM (N.J.) -   A new scaling and squaring algorithm for the matrix exponential  -  SIAM J. Matrix Anal. Appl., vol. 31 n° 3, p. 970-989 (2009).

  • (3) - AL-MOHY (A.H.), HIGHAM (N.J.) -   Computing the action of the matrix exponential with an application to exponential integrators  -  SIAM J. Sci. Comput., vol. 33 n° 2, p. 488-511 (2011).

  • (4) - AL-MOHY (A.H.), HIGHAM (N.J.) -   Improved inverse scaling and squaring algorithms for the matrix logarithm  -  SIAM J. Sci. Comput., vol. 34 n° 4, p. C153-C169 (2012).

  • (5) - BREZINSKI (C.), VAN ISEGHEM (J.) -   Padé approximations  -  in « Handbook of Numerical Analysis », vol. III, P.G. Ciarlet and J.L. Lions eds., North-Holland, Amsterdam, p. 47-222 (1994).

  • ...

1 Outils logiciels

CISIA juin 2000 Le Bayésien (version pour Windows Vista)

CISIA 1 avenue Herbillon, 94160 Saint-Mandé, France

Les outils logiciels disponibles sont décrits dans le texte

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2 Sites Internet

Boîte à outils mft_toolbox pour Matlab :

http://www.maths.manchester.ac.uk/∼higham

Boîte à outils expohit pour Matlab :

http://www.maths.uq.edu.au/expokit/

Fonctions Matlab contenant des intégrateurs exponentiels pour les équations différentielles :

http://www.math.ntnu.no/num/expint/matlab.php

Fonctions Matlab utilisant la méthode d'Arnoldi avec redémarrage pour une fonction quelconque :

http://www.guettel.com

Boîte à outils mmq_toolbox pour Matlab :

http://gerard.meurant.pagesperso-orange.fr/

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