Cet article est consacré au calcul de fonctions de matrices. Avant de définir ce qu’elles sont, expliquons brièvement ce qu’elles ne sont pas. Supposons que l’on ait une fonction f suffisamment régulière et une matrice carrée A d’ordre n à coefficients ai,j, réels ou complexes. La matrice f (A) d’ordre n n’est pas la matrice dont les éléments sont f (ai,j), auquel cas le calcul serait trivial. Les définitions de f (A) rappelées ci-dessous visent à reproduire, pour une matrice, la plupart des propriétés des fonctions scalaires. Dans une première partie, on présentera les définitions et les principales méthodes de calcul de tous les éléments de f (A). Cette partie est inspirée du livre qui contient l’état de l’art concernant le calcul de f (A), encore que certaines des méthodes décrites aient été légèrement améliorées depuis la parution de ce livre. On pourra également consulter avec profit.
Les algorithmes pour f (A) visent à calculer les n2 éléments de la matrice. On utilise souvent des méthodes basées sur des factorisations de la matrice A à l’aide de transformations orthogonales et/ou des approximations de la fonction f permettant un calcul plus facile, par exemple des polynômes ou des fractions rationnelles. Les algorithmes correspondants ont donc un coût proportionnel à n3. Il n’est donc pas faisable, même avec les ordinateurs puissants dont on dispose aujourd’hui, de calculer f (A) pour des matrices de très grande taille. Il se trouve que de nombreuses applications n’ont besoin que de calculer f (A)v où v est un vecteur donné. Ceci peut être fait, sans calculer explicitement tous les éléments de f (A), à l’aide de méthodes itératives de Krylov qui peuvent s’appliquer à de très grandes matrices creuses et que nous décrirons dans une deuxième partie.
Enfin, il existe d’autres applications pour lesquelles on n’a besoin que de calculer des scalaires uT f (A)v, u et v étant des vecteurs donnés. Les méthodes pour calculer efficacement des bornes ou des approximations de ces quantités seront présentées dans une troisième et dernière partie.