Calcul de fonctions de matrices

Cet article est consacré au calcul de fonctions de matrices. Avant de définir ce qu’elles sont, expliquons brièvement ce qu’elles ne sont pas. Supposons que l’on ait une fonction f suffisamment régulière et une matrice carrée A d’ordre n à coefficients a_i,j, réels ou complexes. La matrice f  (A) d’ordre n n’est pas la matrice dont les éléments sont f  (a_i,j), auquel cas le calcul serait trivial. Les définitions de f  (A) rappelées ci-dessous visent à reproduire, pour une matrice, la plupart des propriétés des fonctions scalaires. Dans une première partie, on présentera les définitions et les principales méthodes de calcul de tous les éléments de f  (A). Cette partie est inspirée du livre  qui contient l’état de l’art concernant le calcul de f  (A), encore que certaines des méthodes décrites aient été légèrement améliorées depuis la parution de ce livre. On pourra également consulter  avec profit.

Les algorithmes pour f  (A) visent à calculer les n² éléments de la matrice. On utilise souvent des méthodes basées sur des factorisations de la matrice A à l’aide de transformations orthogonales et/ou des approximations de la fonction f permettant un calcul plus facile, par exemple des polynômes ou des fractions rationnelles. Les algorithmes correspondants ont donc un coût proportionnel à n³. Il n’est donc pas faisable, même avec les ordinateurs puissants dont on dispose aujourd’hui, de calculer f  (A) pour des matrices de très grande taille. Il se trouve que de nombreuses applications n’ont besoin que de calculer f  (A)v où v est un vecteur donné. Ceci peut être fait, sans calculer explicitement tous les éléments de f  (A), à l’aide de méthodes itératives de Krylov qui peuvent s’appliquer à de très grandes matrices creuses et que nous décrirons dans une deuxième partie.

Enfin, il existe d’autres applications pour lesquelles on n’a besoin que de calculer des scalaires u^T f  (A)v, u et v étant des vecteurs donnés. Les méthodes pour calculer efficacement des bornes ou des approximations de ces quantités seront présentées dans une troisième et dernière partie.