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Article

1 - INTERPOLATION RATIONNELLE

  • 1.1 - Formule de Thiele
  • 1.2 - Formule barycentrique

2 - APPROXIMATION RATIONNELLE

  • 2.1 - Approximation de type-Padé
  • 2.2 - Approximation de Padé
  • 2.3 - Interpolation et approximation rationnelles simultanées

3 - EXTRAPOLATION RATIONNELLE

  • 3.1 - Extrapolation de Richardson
  • 3.2 - Procédé Δ2 d'Aitken
  • 3.3 - Transformation de Shanks et l'∊-algorithme
  • 3.4 - ρ-algorithme
  • 3.5 - θ-algorithme
  • 3.6 - E-algorithme
  • 3.7 - Algorithmes divers
  • 3.8 - Cas vectoriel
  • 3.9 - Cas confluent

4 - APPLICATIONS

  • 4.1 - Accélération de la convergence
  • 4.2 - Phénomène de Gibbs
  • 4.3 - Recherche sur Internet
  • 4.4 - Estimation de l'erreur dans les systèmes linéaires
  • 4.5 - Régularisation des systèmes linéaires
  • 4.6 - Fonctions de matrices

Article de référence | Réf : AF1390 v1

Applications
Interpolation, approximation et extrapolation rationnelles

Auteur(s) : Claude BREZINSKI, Michela REDIVO-ZAGLIA

Date de publication : 10 oct. 2013

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RÉSUMÉ

Le but de cet article est de présenter les méthodes d'interpolation et d'approximation par des fonctions rationnelles. Elles sont utilisées pour représenter de manière approchée des fonctions connues, soit en un certain nombre de points, soit par le début de leur développement en série de Taylor. Est traité également le problème de l'accélération de la convergence de suites par des méthodes d'extrapolation rationnelle. Des exemples d'applications à divers problèmes d'analyse numérique sont fournis.

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ABSTRACT

Interpolation, approximation and rational extrapolation

The aim of this article is to present interpolation and approximation methods via rational functions. They are used to represent known functions in an approximate way, either in a certain number of points, or by the first terms of their Taylor series expansion. This article also addresses the issue of accelerating the convergence of action by rational extrapolation methods. Examples of applications to various problems of numerical analysis are provided.

Auteur(s)

  • Claude BREZINSKI : Docteur ès Sciences Mathématiques - Professeur Émérite - Laboratoire Paul Painlevé - UMR CNRS 8524 - Université des Sciences et Technologies de Lille, France

  • Michela REDIVO-ZAGLIA : Docteur en Mathématiques - Professeur - Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Padova, Italie

INTRODUCTION

Un problème important que l'on rencontre en analyse numérique et en mathématiques appliquées concerne l'approximation de fonctions connues seulement par certaines informations. L'interpolation et l'approximation sont deux techniques qui permettent de représenter par une fonction simple, mais de manière approchée, une fonction inconnue dont on connaît soit les valeurs en un certain nombre de points, soit une autre information comme le début de son développement en série de Taylor. La plus simple des fonctions à utiliser pour cela est, bien entendu, un polynôme. Mais un polynôme ne sera pas toujours capable de représenter convenablement, par exemple, des points provenant d'une exponentielle sur un grand intervalle ou d'une fonction admettant des pôles. C'est pour de telles raisons que l'on se tourne alors vers les fractions rationnelles.

Considérons un second problème souvent rencontré. De nombreuses méthodes utilisées en analyse numérique et, plus généralement, en mathématiques appliquées sont des méthodes itératives. Elles produisent une suite qui, dans les meilleurs cas, converge rapidement vers la solution du problème considéré. D'autres méthodes fournissent une approximation de la solution qui dépend d'un paramètre et, lorsque ce paramètre tend vers une limite (en général zéro ou l'infini), cette approximation tend vers la solution exacte du problème. En considérant une suite de ces paramètres convergeant vers leur limite, on obtient une suite d'approximations de la solution qui converge vers la réponse désirée. Cependant, dans ces deux cas, la convergence peut être lente, rendant la méthode difficilement utilisable en pratique. D'autre part, il se peut que la suite (ou l'approximation) provienne d'une boîte noire et qu'il soit donc impossible de modifier son processus de fabrication. L'idée est alors de transformer cette suite lente en une nouvelle suite convergeant, sous certaines conditions, plus rapidement vers la même limite. De telles méthodes sont basées sur l'idée d'extrapolation linéaire ou, mieux, rationnelle.

Le but de cet article est de servir d'introduction à l'interpolation et à l'approximation par des fonctions rationnelles ainsi qu'à l'extrapolation rationnelle. On donnera des exemples d'application de ces techniques.

Dans la bibliographie, les références en français ont été privilégiées quand cela était possible. On pourra trouver d'autres références en consultant les pages personnelles des auteurs de cet article sur Internet.

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KEYWORDS

approximation   |   interpolation   |   extrapolation   |   rational functions   |   acceleration

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1390


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4. Applications

Nous allons maintenant présenter brièvement des applications à certains problèmes d'analyse numérique.

4.1 Accélération de la convergence

Pour illustrer les procédés d'accélération de la convergence, nous ne donnerons que deux exemples, l'un scalaire et l'autre vectoriel. Tous les deux font appel à l'∊-algorithme.

Considérons la série

Elle converge dans et sur le cercle unité, sauf en x = − 1. Pour x = 1, sa convergence est très lente, puisque ses termes décroissent comme 1/n. Si on applique l'∊-algorithme aux sommes partielles de cette série pour x = 1, alors on obtient log 2 avec une précision de 10−16 en n'utilisant que ses 22 premiers termes. Si x = 2, la série diverge et la même précision est atteinte à partir de ses 23 premières sommes partielles. Nous avons en fait effectué le prolongement analytique de cette série (de Stieltjes) en dehors de son domaine de convergence à l'aide des approximants de Padé (voir section 2.2).

Soit le système linéaire Ax = b. De nombreuses méthodes itératives pour sa résolution consistent en des itérations de la forme xn+1 = Bxn + c, n = 0, 1,..., avec x0 quelconque. La suite (xn) converge si et seulement si le rayon spectral de la matrice B est strictement plus petit que 1 ...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BAKER (G.A.) Jr., GRAVES-MORRIS (P.R.) -   Padé Approximants  -  2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge (1996).

  • (2) - BERRUT (J.-P.), BALTENSPERGER (R.), MITTELMANN (H.D.) -   *  -  . – Recent developments in barycentric rational interpolation, in Trends and Applications in Constructive Approximation, M.G. de Bruin, D.H. Mache, J. Szabados eds., ISNM vol. 151, Birkhäuser Verlag, Basel, pp. 27-51 (2005).

  • (3) - BREZINSKI (C.) -   Accélération de la Convergence en Analyse Numérique  -  Lect. Notes Math., vol. 584, Springer-Verlag, Heidelberg (1977).

  • (4) - BREZINSKI (C.) -   Algorithmes d'Accélération de la Convergence. Étude Numérique  -  Éditions Technip, Paris (1978).

  • (5) - BREZINSKI (C.) -   Padé-Type Approximation and General Orthogonal Polynomials  -  ISNM, vol. 50, Birkhäuser-Verlag, Basel (1980).

  • ...

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