Article de référence | Réf : AF1470 v1

Validation des résultats des logiciels scientifiques - Problème des approximations arithmétiques

Auteur(s) : Jean VIGNES, René ALT

Date de publication : 10 oct. 2009

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RÉSUMÉ

Depuis plusieurs décennies maintenant, l’ordinateur effectue un nombre important d’opérations arithmétiques dans le domaine des sciences et des techniques, ainsi que dans beaucoup de nos activités quotidiennes. Malgré l’aide précieuse apportée, le problème des approximations reste bien réel. En effet, toute valeur numérique ne peut y être représentée qu'avec un nombre fini de chiffres, et doit donc être arrondie, sans compter même les incertitudes dues aux appareils de mesure. Cet article présente tout d’abord l'arithmétique des ordinateurs et ses conséquences en calcul scientifique, pour s’intéresser ensuite aux méthodes d'estimation des bornes de la propagation des erreurs d'arrondi.

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ABSTRACT

Over several decades, the computer has performed a significant number of arithmetic operations in the domain of sciences and techniques as well as in many of our daily activities. Despite the precious help provided, approximations are still an issue. Indeed, any numerical value can only be represented in the computer with a finite number of figures and must therefore be rounded without even taking into account the uncertainties brought about by measurement devices. This article presents computer arithmetics and its consequences for scientific calculation and then focuses on assessment methods for the propagation limits of rounding errors.

Auteur(s)

  • Jean VIGNES : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie

  • René ALT : Professeur émérite de l'université Pierre et Marie Curie

INTRODUCTION

L'ordinateur est actuellement utilisé dans la quasi totalité des sciences et des techniques, ainsi que dans beaucoup de nos activités quotidiennes. Cependant, il ne faut pas oublier que le but premier de ces machines était de pouvoir faire automatiquement des calculs numériques. Ils sont les successeurs des bouliers et des machines à calculer mécaniques, puis électriques, et sont en cela le résultat de l'association de l'électronique et des techniques de calcul anciennes et bien connues. Ainsi, les tout premiers ordinateurs pouvaient déjà, grâce à la rapidité d'exécution qu'apporte l'électronique, effectuer en un temps raisonnable un nombre important d'opérations arithmétiques.

Mais, sur ordinateur, toute valeur numérique ne peut être représentée qu'avec un nombre fini de chiffres. De ce fait, toute donnée ou résultat fourni par les opérations arithmétiques doit être arrondi, c'est-à-dire remplacé par une valeur proche représentable exactement. Ainsi, au niveau de chaque opération arithmétique, une erreur d'arrondi est générée, certes très faible, mais qui, tout au long des calculs, va se propager en affectant tous les résultats.

De plus, il est fréquent que les données mises en jeu dans le programme de calcul soient issues d'appareils de mesure (capteurs) et se trouvent donc entachées d'incertitudes dues à ces appareils. Il est également indispensable de pouvoir évaluer l'influence de ces incertitudes sur les résultats fournis par l'ordinateur.

Dans le chapitre , l'arithmétique des ordinateurs est présentée et les conséquences qu'elle engendre sont mises en évidence à l'aide d'exemples. Le chapitre est consacré aux méthodes déterministes d'estimation des bornes (majorantes) de la propagation des erreurs d'arrondi. L'analyse régressive est particulièrement intéressante pour étudier la stabilité des algorithmes. Cependant, elle nécessite une étude détaillée de chaque algorithme étudié.

L'arithmétique d'intervalles permet de calculer un intervalle contenant certainement la solution exacte du problème étudié, mais nécessite généralement une reformulation de l'algorithme si l'on ne veut pas trouver un intervalle beaucoup trop pessimiste.

Les autres aspects, notamment l'approche stochastique de la propagation des erreurs, à travers la méthode CESTAC, ainsi que l'apport du logiciel CADNA, seront étudiés dans le dossier qui lui fait suite, [AF 1 471] .

Enfin, le lecteur trouvera une imposante bibliographie et des sites web recommandés dans la partie documentaire, le dossier [Doc. AF 1 470] .

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1470


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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BREZINSKI (C.) -   Méthodes numériques de base – Analyse numérique.  -  [AF 1 220] (2006).

  • (2) - LA PORTE (M.), VIGNES (J.) -   Algorithmes numériques, analyse et mise en œuvre.  -  Éds Technip, Paris, vol.1 et 2 (1974 et 1980).

  • (3) - PICHAT (M.), VIGNES (J.) -   Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur.  -  Éd. Technip, Paris (1993).

  • (4) - MULLER (J.M.) -   L'arithmétique des ordinateurs,  -  Masson, 1989.

  • (5) - GAO/Imtec-92-26 -   Patriot missile Defense.  -  Software problems led to failure at Dahran Arabia (1992).

  • (6) - RUMP (S.M.) -   How reliable are results of computers ?  -  Jahrbuch Uberliche Mathematik (1983).

  • ...

NORMES

  • Floating-point arithmetic - IEEE 754 - 01-08

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