Présentation

Article

1 - INTRODUCTION

  • 1.1 - Deux exemples
  • 1.2 - Extension du calcul fonctionnel

2 - LE CALCUL FONCTIONNEL CONTINU

  • 2.1 - Opérateurs auto-adjoints et unitaires
  • 2.2 - La théorie de Gelfand
  • 2.3 - L'algèbre de Wiener
  • 2.4 - La transformation de Fourier
  • 2.5 - Le calcul fonctionnel des opérateurs normaux
  • 2.6 - Corollaires
  • 2.7 - Transformation spectrale

3 - DIAGONALISATION

  • 3.1 - Opérateurs auto-adjoints compacts
  • 3.2 - L'opérateur de multiplication
  • 3.3 - Le cas cyclique
  • 3.4 - Le cas général

4 - LE CALCUL FONCTIONNEL BORÉLIEN

  • 4.1 - Mesures de Radon signées
  • 4.2 - Prolongement du calcul continu

5 - LA MESURE SPECTRALE

  • 5.1 - Opérateurs compacts normaux
  • 5.2 - Projecteurs
  • 5.3 - Propriétés de la mesure spectrale
  • 5.4 - Intégrale spectrale
  • 5.5 - Propriétés de l'intégrale spectrale
  • 5.6 - Applications

6 - ALGÈBRES DE VON NEUMANN

  • 6.1 - Le théorème du bicommutant
  • 6.2 - Un exemple

7 - ALGÈBRES MAXIMALES COMMUTATIVES

  • 7.1 - L'opérateur de multiplication
  • 7.2 - Vecteurs cycliques et séparants
  • 7.3 - Opérateurs simples
  • 7.4 - Diagonalisation

8 - PROLONGEMENTS

Article de référence | Réf : AF568 v1

La mesure spectrale
Le théorème spectral

Auteur(s) : Marc LENOIR

Date de publication : 10 oct. 2012

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RÉSUMÉ

Des outils d’analyse pour accéder aux résultats généraux de la théorie spectrale et à ceux spécifiques relatifs aux opérateurs compacts, existent déjà, notamment ceux encadrant la théorie des fonctions analytiques. Cependant, aborder en profondeur les opérateurs normaux nécessite des outils supplémentaires : théorie de la mesure, topologies découlant d’une famille de semi-normes ainsi que sur la notion algébrique d’idéal et sur l’axiome du choix. Cet article présente divers aspects du théorème spectral des opérateurs normaux. Ainsi, l’intégrale de Dunford permet de construire des projecteurs réduisant l’opérateur selon ses composantes élémentaires. Cependant, en l’absence de décomposition du spectre en composantes connexes, la construction de projecteurs nécessite le recours aux outils de la théorie de la mesure.

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ABSTRACT

The spectral theorem

Analysis tools for accessing to the general results of the spectral theory and the specific results concerning compact operators already exist, in particular those governing th etheory of nanlytical functions. However, the in-depth study of normal operators requires supplementary tools: the theory of measurement, topologies derived from a seminorm family as well the algebraic notion of ideal and the axiom of choice. this article presents several aspects of the spectral theorem of normal operators. Indeed, the Dunford integral allows for designing projectors which reduce the operator according to its elementary compounds. However, in the absence of the decomposition of the spectrum into related compounds, the design of projectors requires recoursing to measurement theory tools.

Auteur(s)

  • Marc LENOIR : Directeur de recherche au CNRS - École nationale supérieure des techniques avancées

INTRODUCTION

Les outils d’analyse que sont la théorie des fonctions analytiques et celle des espaces de Banach et de Hilbert permettent d’accéder aux résultats généraux de la théorie spectrale et à ceux spécifiques relatifs aux opérateurs compacts. Une analyse approfondie des opérateurs normaux, c’est-à-dire commutant avec leur adjoint et qui ne satisfont pas I’hypothèse de compacité, nécessite de faire appel à des outils supplémentaires de diverses natures : théorie de la mesure, topologies découlant d’une famille de semi-normes ainsi qu’à la notion algébrique d’idéal et à l’axiome du choix.

Ce document peut être considéré comme la suite de l’article [AF 567] théorie spectrale et applications ; il a pour but de présenter divers aspects du théorème spectral des opérateurs normaux. Lorsque le spectre se résout en composantes connexes, et tout particulièrement lorsqu’il est discret l’intégrale de Dunford, permet de construire des projecteurs réduisant l’opérateur selon ses composantes élémentaires. Cette stratégie reste valable dans son principe pour l’analyse des opérateurs normaux, mais en l’absence de décomposition du spectre en composantes connexes, la construction de projecteurs nécessite le recours aux outils de la théorie de la mesure.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af568


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5. La mesure spectrale

5.1 Opérateurs compacts normaux

La réduction spectrale des opérateurs compacts normaux conduit à la formule suivante : , où les Pk sont les projecteurs spectraux, d'images Nk telles que , avec et , les Nk, k ≥ 0 étant mutuellement orthogonaux. C'est de cette orthogonalité que découle la propriété d'homomorphisme d'algèbres :

( 1 )

ce qui constitue un comportement tout à fait original pour le produit de deux sommes.

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5.2 Projecteurs

Le calcul fonctionnel borélien des opérateurs normaux permet de construire l'analogue des Pk à partir des fonctions caractéristiques des boréliens. Soit en effet un borélien A, on aura . Les propriétés du calcul fonctionnel font de χA  (T) un projecteur auto-adjoint car, d'une part, (χA)2 = χA et, d'autre part, . Par ailleurs si A1 et A2 sont des boréliens disjoints, on a

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ARVESON (W.) -   A short course on spectral theory  -  Springer, Graduate texts in Mathematics 209 (2002).

  • (2) - ARVESON (W.) -   An invitation to C* -algebras  -  Springer, Graduate texts in Mathematics 39 (1976).

  • (3) - BIRMAN (M.S.), SOLOMJAK (M.Z.) -   Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space  -  Reidel (1987).

  • (4) - CONWAY (J.) -   A course in functional analysis  -  Springer, Graduate texts in Mathematics 96 (1990).

  • (5) - DESCOMBES (R.) -   Intégration  -  Hermann (1972).

  • (6) - LÉVY-BRUHL (P.) -   Introduction à la théorie spectrale  -  Dunod (2003).

  • (7)...

1 Sites Internet

PAULIN (F.). – Compléments de théorie spectrale et d'analyse harmonique http://www.math.u-psud.fr/∼ paulin/notescours/cours_magistere2.pdf

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