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RÉSUMÉ
Des outils d’analyse pour accéder aux résultats généraux de la théorie spectrale et à ceux spécifiques relatifs aux opérateurs compacts, existent déjà, notamment ceux encadrant la théorie des fonctions analytiques. Cependant, aborder en profondeur les opérateurs normaux nécessite des outils supplémentaires : théorie de la mesure, topologies découlant d’une famille de semi-normes ainsi que sur la notion algébrique d’idéal et sur l’axiome du choix. Cet article présente divers aspects du théorème spectral des opérateurs normaux. Ainsi, l’intégrale de Dunford permet de construire des projecteurs réduisant l’opérateur selon ses composantes élémentaires. Cependant, en l’absence de décomposition du spectre en composantes connexes, la construction de projecteurs nécessite le recours aux outils de la théorie de la mesure.
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Marc LENOIR : Directeur de recherche au CNRS - École nationale supérieure des techniques avancées
INTRODUCTION
Les outils d’analyse que sont la théorie des fonctions analytiques et celle des espaces de Banach et de Hilbert permettent d’accéder aux résultats généraux de la théorie spectrale et à ceux spécifiques relatifs aux opérateurs compacts. Une analyse approfondie des opérateurs normaux, c’est-à-dire commutant avec leur adjoint et qui ne satisfont pas I’hypothèse de compacité, nécessite de faire appel à des outils supplémentaires de diverses natures : théorie de la mesure, topologies découlant d’une famille de semi-normes ainsi qu’à la notion algébrique d’idéal et à l’axiome du choix.
Ce document peut être considéré comme la suite de l’article [AF 567] théorie spectrale et applications ; il a pour but de présenter divers aspects du théorème spectral des opérateurs normaux. Lorsque le spectre se résout en composantes connexes, et tout particulièrement lorsqu’il est discret l’intégrale de Dunford, permet de construire des projecteurs réduisant l’opérateur selon ses composantes élémentaires. Cette stratégie reste valable dans son principe pour l’analyse des opérateurs normaux, mais en l’absence de décomposition du spectre en composantes connexes, la construction de projecteurs nécessite le recours aux outils de la théorie de la mesure.
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4. Le calcul fonctionnel borélien
Les résultats qui précèdent reposent sur le calcul fonctionnel continu et les mesures positives associées
où x est cyclique. Au prix de l'abandon du caractère isométrique et corrélativement de la positivité de la mesure, il est possible de prolonger le calcul continu aux fonctions boréliennes bornées, ce qui permet de définir des projecteurs généralisant ceux du calcul holomorphe.
4.1 Mesures de Radon signées
Dans un espace X localement compact et dénombrable à l'infini, c'est-à-dire union dénombrable de compacts, on appelle mesure de Radon signée toute forme linéaire continue sur l'espace
des fonctions continues à support compact muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts. Si m est une mesure de Radon et si
, on dit que la mesure m est positive ; toute forme linéaire positive est une mesure de Radon positive, toute mesure de Radon est la différence de deux mesures de Radon positives m + et m −. La mesure positive m + + m − est notée
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