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RÉSUMÉ
Les méthodes de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires sont généralement utilisées en liaison avec un préconditionneur qui permet d’accélérer la convergence. Elles ne requièrent que des multiplications de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs. Cet article propose une explication des méthodes et de leur principal but. Les méthodes de Krylov sont ensuite analysées en profondeur : construction de la base, méthodes GMRES et FOM, gradient conjugué, méthodes BiCG et BiCGstab ou méthode QMR. Un exemple de méthodes clôture l’article.
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-
Gérard MEURANT : CEA/DIF (Bruyères le Chatel)
INTRODUCTION
Ce dossier expose l’état de l’art pour résoudre des grands systèmes linéaires creux avec des méthodes itératives de Krylov. Ces méthodes ne requièrent que des multiplications de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs. Elles sont généralement utilisées en liaison avec un préconditionneur qui permet d’accélérer la convergence.
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2. Méthodes de Krylov
2.1 Construction de la base
Toutes ces méthodes démarrent d’un vecteur initial donné x 0 ayant n composantes. En général, on choisit x 0 = 0 ou bien un vecteur ayant des composantes aléatoires. Le résidu initial r 0 est défini par r 0 = b – Ax 0. L’espace de Krylov d’ordre k construit sur A et r 0 et noté
(A, r 0) est défini comme l’espace engendré par les vecteurs :
Aleksei N. Krylov était un mathématicien et ingénieur russe qui a vécu de 1863 à 1945. Les espaces qu’il a utilisés pour des calculs de valeurs propres sont associés à son nom, mais les méthodes « dites de Krylov », en particulier pour les systèmes non symétriques, ont été découvertes beaucoup plus tard.
On cherche les itérés x k dans l’espace x 0 +
(A, r 0).
Si V k est une matrice dont les colonnes sont des vecteurs v j (j = 1, …, k ) qui constituent une base de l’espace de Krylov
, on peut écrire :
et le problème se réduit à construire les vecteurs...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BARRETT (R.), BERRY (M.), CHAN (T.F.), DEMMEL (J.), DONATO (J.), DONGARRA (J.), EIJKHOUT (V.), POZO (R.), ROMINE (C.), VAN DER VORST (H.V.) - Templates for the solution of linear systems : building blocks for iterative methods. - SIAM (1994).
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(2) - FISCHER (B.) - Polynomial based iteration methods for symmetric linear systems. - Wiley Teubner (1996).
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(3) - FREUND (R.W.), NACHTIGAL (N.M.) - QMR : a quasi-minimal residual method for non Hermitian linear systems. - Numer. Math., vol. 60, p. 315-339 (1991).
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(4) - GOLUB (G.H.), VAN LOAN (C.) - Matrix computations. - Johns Hopkins University Press (1989).
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(5) - GREENBAUM (A.) - Iterative methods for solving linear equations. - SIAM (1997).
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(6) - HESTENES (M.R.), STIEFEL (E.) - Methods of conjugate gradients for solving linear systems. - J. Nat. Bur. Stand., vol. 49,...
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