Équations différentielles stochastiques
Mouvement brownien et calcul stochastique

Le mouvement brownien est associé à l’analyse de mouvements dont l’évolution au cours du temps est si désordonnée qu’il semble difficile de la prévoir, même pour un temps très court, tel le mouvement d’une particule microscopique en suspension dans un liquide et soumise à l’agitation thermique. On trouvera dans l’article [AF 165], « Probabilités. Présentation », davantage de précisions sur « l’invention » du mouvement brownien. Celui-ci joue un rôle central dans la théorie des processus aléatoires, d’une part parce que, dans de nombreux problèmes appliqués, le mouvement brownien sert à modéliser les erreurs ou les perturbations aléatoires, et d’autre part parce que le mouvement brownien ou les processus de diffusion qui en découlent permettent de construire des modèles simples sur lesquels des calculs peuvent être faits.

Le calcul stochastique, ou calcul d’Itô, du nom d’un des pionniers en ce domaine, est en fait un calcul d’intégrale par rapport au mouvement brownien. Ce dernier étant une fonction qui n’est pas à variation finie, cette notion d’intégrale n’est pas usuelle et sa définition en est probabiliste. Elle permet en particulier de définir la notion d’équation différentielle stochastique qui est une équation obtenue par la perturbation aléatoire d’une équation différentielle ordinaire. Les solutions de ces équations définissent de nouveaux processus, appelés processus de diffusion, et qui sont à la base du calcul probabiliste moderne. Ces processus sont souvent markoviens, au sens où leur comportement futur, conditionnellement au passé, ne dépend en fait que de l’état présent. Cette propriété, dite de Markov, est souvent vérifiée dans la réalité, en particulier, en physique, dans les réseaux de télécommunication, ou en mathématiques financières. Ainsi, les processus de diffusion sont précieux dans la modélisation de nombreux phénomènes aléatoires. On verra par ailleurs qu’il existe des liens importants entre leur loi et certaines équations aux dérivées partielles. Ces liens sont à la base de beaucoup de développements récents liant des résultats d’analyse et des résultats probabilistes.

Les deux premiers paragraphes de cet article constituent les prérequis indispensables pour définir la notion de mouvement brownien et en comprendre les propriétés. On suppose connus ici les résultats probabilistes développés dans l’article [AF 166] « Probabilités. Concepts fondamentaux ». Ensuite, on définira le mouvement brownien à travers plusieurs approches, qui permettront d’en déduire les propriétés et d’en montrer toute sa richesse. On introduira alors l’intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien. La partie suivante est consacrée à l’étude des équations différentielles stochastiques. Des applications à l’étude des équations aux dérivées partielles ou en mathématiques financières sont données en fin d’article.