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RÉSUMÉ
L'observation d’un phénomène sur un intervalle de temps constitue une série temporelle. Cet article est consacré aux suites indicées régulièrement par le temps. Il expose comment explorer une série et quels types de graphique choisir pour renseigner sur sa structure, ou guider sa modélisation. Les notions de stationnarité et les différentes formes de non-stationnarité sont définies. Une grande place est faite aux modèles ARIMA très souvent présents dans les séries à différentes étapes de leur modélisation. Les problématiques de régression linéaire d'une variable sur d'autres variables et la dynamique de l'erreur d'ajustement sont également détaillées.
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Yves ARAGON : Professeur émérite à l'Université de Toulouse 1 (Sciences sociales) - Coresponsable pédagogique du Master « Statistique et économétrie » FOAD
INTRODUCTION
Si un phénomène se déroule dans le temps, on peut vouloir le prédire, en comprendre la dynamique et comprendre les liens qu'il a avec un autre phénomène. Ces objectifs sont souvent complémentaires. L'observation du phénomène sur un intervalle de temps constitue une série temporelle. Dans ce dossier, nous voyons d'abord comment explorer une série puis quels graphiques peuvent nous renseigner sur sa structure, nous guider pour sa modélisation. Ensuite, nous définissons la stationnarité et des modèles classiques de série, les modèles ARIMA. L'estimation de tels modèles et leur validation sont illustrées sur des exemples. Nous envisageons différentes formes de non-stationnarité et la façon de les prendre en compte. Enfin, comme un phénomène est souvent dépendant d'un autre phénomène, nous montrons comment combiner la régression linéaire d'une variable sur d'autres variables et la dynamique de l'erreur d'ajustement. Même si beaucoup d'autres modèles sont utiles pour décrire les séries temporelles, les modèles ARIMA se retrouvent très souvent dans les séries à différentes étapes de leur modélisation. Des rappels et des compléments sur la régression linéaire figurent en annexe.
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1. Analyse exploratoire d'une série temporelle
Les séries temporelles que l'on considère ici sont des suites d'observations indicées régulièrement par le temps, par exemple, mesures toutes les heures, tous les mois... Les séries temporelles apparaissent souvent en contrôle de fabrication, quand on mesure l'activité industrielle ou dans les mesures de phénomènes physiques.
Pour beaucoup de séries, on rencontre une ou plusieurs des formes suivantes de dépendance par rapport au temps :
-
le niveau moyen dépend du temps (on dit alors que la série a une tendance ou un trend) ;
-
les valeurs sont corrélées temporellement (on parle d'autocorrélation) ;
-
la série montre un comportement périodique plus ou moins marqué (on est en présence de saisonnalité).
La dépendance par rapport au temps empêche de pouvoir considérer que les observations sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées). Mais cette dépendance peut être exploitée pour prédire la valeur de la série à une date future. Suivant le ou les aspects repérés par une analyse exploratoire de la série et les objectifs que l'on poursuit, il faut mettre en œuvre des techniques différentes.
Nous examinons quelques techniques exploratoires pour évaluer une telle dépendance.
1.1 Graphiques
Soit (yt, t = 1, ..., T), une série observée. Quelques graphiques de base permettent de comprendre s'il y a dépendance par rapport au temps ou si la série peut être traitée comme une suite d'observations indépendantes.
Chronogramme (line plot)
On porte en abscisse le temps et en ordonnée la valeur de la série en liant les points : on dessine les points (t, yt), t = 1, ..., T.
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1 À lire également dans nos bases
MELEARD (S). – Probabilités - Concepts fondamentaux [AF 166] Mathématiques pour l'ingénieur 04/2001.
CHEZE (N.). – Statistique inférentielle - Estimation [AF 168] Mathématiques pour l'ingénieur 10/2003.
CHEZE (N.). – Statistique descriptive - Traitement des données [AF 167] Mathématiques pour l'ingénieur 10/2002.
FOUQUE (J.-P.). – Calcul des probabilités - concepts et résultats de base [A 560] Archives analyse/mesure 05/1993.
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SAS – Statistical Analysis System. [langage de commande] version 6 SAS Institute Inc. http://www.sas.com
R – A language and environment for statistical computing [logiciel libre] http://www.r-project.org
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