Bibliographie & annexes
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Auteur(s)
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Xavier JEANNEAU : Agrégé de mathématiques - Professeur en classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs,lycée Aristide-Briand d’Évreux
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les performances spectaculaires du calcul électronique ont depuis longtemps conduit les scientifiques à confier aux ordinateurs le calcul numérique ; il en a résulté un partage des tâches : tout en cédant aux machines le domaine des applications numériques, c’est-à-dire des approximations, l’homme, s’estimant seul capable de raisonner et de mener à bien un calcul algébrique, s’est réservé la maîtrise de l’exactitude. L’apparition des systèmes de calcul formel, capables d’effectuer des calculs algébriques bien au-delà des possibilités humaines, a remis en cause cette répartition rassurante.
L’introduction en 1995 de l’apprentissage d’un logiciel de calcul symbolique dans l’enseignement des classes préparatoires scientifiques a précipité en France cette évolution. Après hésitation entre les logiciels Mathematica et Maple, c’est ce dernier, moins cher et d’un premier abord plus facile, qui a été très majoritairement adopté.
Sans aucune connaissance préalable, cette découverte progressive du logiciel Maple n’est pas pour autant un simple mode d’emploi : au fil de cette exploration, nous avons voulu souligner les caractères généraux du calcul formel en soulevant quelques questions sur le logiciel :
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sa fiabilité : peut-on démontrer un théorème à l’aide de Maple ? Quelle est en calcul formel la représentation d’une expression algébrique ? Comment le logiciel simule-t-il une activité mathématique ?
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la manière de l’utiliser : doit-on préférer exécuter les instructions une à une, de manière interactive, ou rédiger des programmes ? Quel est le style de programmation qui s’adapte le mieux au calcul formel ? Quel type de données utiliser pour la géométrie, l’analyse ou l’algèbre linéaire ?
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son impact : comment le calcul formel change-t-il notre manière de travailler ? Faut-il encore connaître des mathématiques ? Peut-on tout traiter avec Maple ?
Notre ambition étant de montrer que le calcul symbolique peut modifier de manière significative la pratique du travail scientifique, nous nous appuyons sur quelques exemples, peu nombreux mais approfondis. Ne faisant appel qu’aux connaissances mathématiques de première année d’enseignement supérieur, ils requièrent néanmoins une lecture attentive.
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Vecteurs et matrices : calculer avec des tableaux4. Pour faire de l’analyse : fonctions ou expressions ?
4.1 Définition et usage des fonctions élémentaires
Une fonction de Maple est un programme de calcul d’une valeur à partir d’arguments. On doit envisager deux étapes qu’il convient de bien distinguer :
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la définition de la fonction, où l’on indique, à partir de paramètres formels représentant les arguments, le mode de calcul de la valeur prise par la fonction. Cette définition prend souvent la forme d’une instruction d’affectation, attribuant un nom à cette fonction ;
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les appels de la fonction, où l’on calcule effectivement les valeurs prises par la fonction pour des valeurs précises des arguments, appelées paramètres effectifs.
Nous ne considérons pour le moment que des fonctions élémentaires, dont le calcul des valeurs peut se résumer en une formule, éventuellement compliquée. La définition d’une fonction à un argument à partir d’une expression correspondant à cette formule s’écrit alors :
> f:=x->expression;
où expression contient en principe le paramètre formel x (sinon, la fonction est constante).
Une fois la fonction f définie, un appel de f peut consister par exemple à écrire :
> f(argument);
Le paramètre formel est alors remplacé par le paramètre effectif argument dans l’expression définissant la fonction et l’expression qui en résulte est alors évaluée. Cette valeur de la fonction f peut aussi figurer dans une expression quelconque et sera évaluée selon le même principe. On aura noté que l’évaluation de l’expression définissant une fonction f n’a pas lieu lors de la définition de f mais à chaque appel de f .
Voici un exemple simple de définition et d’appels d’une fonction :
> restart:
> f:=x->sin(x)/x;
> f(u),f(Pi/2),factor(f(Pi-x)+f(x));
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Pour faire de l’analyse : fonctions ou expressions ?
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - * - Pour le lecteur désireux d’étendre cette exploration, outre le mode d’emploi du logiciel HEAL (K.M.), HANSEN (M.L.), RICKARD (K.M.) - Maple V : learning guide., nous conseillons d’abord CORNIL (J.M.), TESTUD (P.) - Maple : introduction raisonnée à l’usage de l’étudiant, de l’ingénieur et du chercheur., très facile d’accès et couvrant l’essentiel des applications de niveau premier cycle universitaire. Si le lecteur est plus intéressé par l’approfondissement du calcul formel tel que nous l’avons esquissé, la meilleure référence est de loin GOMEZ (C.), SALVY (B.), ZIMMERMANN (P.) - Calcul formel : mode d’emploi – Exemples en Maple.. À l’inverse de notre approche, les exemples accompagnant ces deux ouvrages sont brefs et nombreux. Enfin, ceux qu’un peu plus de mathématiques n’effraie pas pourront consulter DUMAS (P.), GOURDON (X.) - Maple : son bon usage en mathématiques..
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(2) - * - MIGNOTTE (M.) - Mathématiques pour le calcul formel. et DAVENPORT (J.), SIRET (Y.), TOURNIER (E.) - Calcul formel : systèmes et algorithmes de manipulations algébriques. sont deux références très classiques sur les mathématiques qui sous-tendent le calcul formel ; DAVENPORT (J.), SIRET (Y.), TOURNIER (E.) - Calcul formel : systèmes et algorithmes de manipulations algébriques. montre très bien quelles nouvelles recherches il suscite.
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(3) - * - MONAGAN (M.B.), GEDDES (K.O.), HEAL (K.M.), LABAHN (G.), VORKOETTER (S.M.)...
ANNEXES
Les exemples traités dans cet article ont été rédigés avec la version la plus répandue en 2001 : Maple V Release 5. Toutefois, depuis la Release 4 jusqu’à la toute dernière Release 7, aucune modification essentielle n’est intervenue sur le fonctionnement courant du logiciel et les instructions peuvent être adaptées sans changement important.
Fournisseur du logiciel : Waterloo Maple Inc.
Distributeur en France : Math Center
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