Systèmes de calcul formel

L e calcul scientifique sur ordinateur se présente principalement sous deux aspects différents et complémentaires.

D’une part, le calcul numérique traditionnel où est exploitée la capacité des ordinateurs à effectuer rapidement un grand nombre d’opérations arithmétiques sur les nombres réels. Les résultats de ce type de calcul sont approchés et ils dépendent du choix de la représentation des nombres réels et de la façon dont sont effectuées les opérations arithmétiques. L’accumulation des erreurs d’arrondis, les problèmes de mauvais conditionnement sont pour les calculs numériques des obstacles fréquents à l’obtention de résultats reproductibles et fiables.

D’autre part, le calcul symbolique ou calcul formel consiste à faire effectuer par l’ordinateur des calculs mathématiques exacts : développements, transformations, simplifications de formules. Un aspect typique du calcul formel est que les symboles dans les formules ne sont pas nécessairement remplacés par des valeurs numériques particulières mais conservés lors du déroulement des calculs. Tous les calculs présentant un caractère d’automatisme, c’est‐à‐dire dont les étapes obéissent à un ensemble bien précis et cohérent de règles, peuvent être effectués par ordinateur. Des formules courantes de l’art de l’ingénieur, le calcul différentiel et intégral, par exemple, sont ainsi traitées par des programmes informatiques avec une fiabilité bien supérieure à celle d’un calcul manuel et avec des limites pour la taille des calculs incomparablement plus grandes.

Le calcul formel est un domaine de recherche en pleine expansion. Dans tous les secteurs où les mathématiciens obtiennent des résultats constructifs, de nouveaux algorithmes spécifiques sont mis au point, transformés en programmes et expérimentés.

Un système de calcul formel est un logiciel regroupant des programmes de calcul symbolique relatifs à un domaine spécialisé ou bien au contraire des programmes assez généraux pour effectuer tous les calculs mathématiques usuels de l’ingénieur mathématicien. Un système de calcul formel se présente à l’utilisateur sous la forme d’un ensemble de commandes et d’un langage plus ou moins élaboré lui permettant d’organiser ses calculs et même quelquefois d’étendre le système lui‐même. Les systèmes de calcul formel les plus répandus contiennent également des programmes numériques et des utilitaires graphiques pour faciliter l’interprétation et l’exploitation des résultats.