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Article

1 - BILAN D'UNE GRANDEUR QUELCONQUE. ÉQUATION DE BILAN

2 - BILAN DE LA MASSE

  • 2.1 - Équation locale de la conservation de la masse
  • 2.2 - Équation intégrale de la conservation de la masse

3 - BILAN DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

  • 3.1 - Forces appliquées au fluide
  • 3.2 - Équation de Cauchy. Équation de Navier-Stokes
  • 3.3 - Équation intégrale du bilan de la quantité de mouvement
  • 3.4 - Équation de Bernoulli. Fluide pesant incompressible en écoulement stationnaire

4 - BILAN DE L'ÉNERGIE CINÉTIQUE. ÉQUATION DE BERNOULLI GÉNÉRALISÉE

  • 4.1 - Cas général
  • 4.2 - Cas d'un fluide pesant compressible ou incompressible
  • 4.3 - Écoulement d'un fluide pesant en présence d'une machine
  • 4.4 - Fluide pesant contenu dans un tube de courant comportant des éléments mobiles de machine
  • 4.5 - Cas d'un filet de courant

5 - BILAN DE L'ÉNERGIE. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

  • 5.1 - Cas général
  • 5.2 - Fluide pesant en contact avec des éléments mobiles d'une machine
  • 5.3 - Fluide pesant s'écoulant dans un filet de courant et traversant une machine
  • 5.4 - Équation de la thermique des fluides en écoulement

Article de référence | Réf : BE8153 v2

Bilan de l'énergie cinétique. Équation de Bernoulli généralisée
Écoulement des fluides - Équations de bilans

Auteur(s) : André LALLEMAND

Relu et validé le 04 janv. 2020

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RÉSUMÉ

L'objectif de cet article est de fournir l'ensemble des équations qui sont à la base de la résolution des écoulements quels qu'ils soient. Dans un premier temps, il s'agit de l'équation générale du bilan d'une grandeur quelconque, scalaire ou vectorielle, qui traverse un volume de contrôle en régime non permanent. Les applications au bilan de la masse, de la quantité de mouvement, de l'énergie cinétique et de l'énergie sont ensuite développées. Une étude complète des efforts qui s'exercent sur un élément de fluide est faite pour le bilan de la quantité de mouvement. L'article se termine par une application au bilan de l'énergie thermique.

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ABSTRACT

Fluid mechanical basic equations

In this article, we establish the basic equations for the balance of any arbitrary property, scalar or vectorial, that crosses a control volume in a non-permanent regime. We develop applications to the balance of mass, momentum, kinetic energy and energy. A complete study of the stress field on an element of fluid is made for the balance of the momentum. The article ends with an application to the balance of thermal energy.

Auteur(s)

  • André LALLEMAND : Ingénieur, Docteur ès sciences - Professeur émérite des Universités - Ancien directeur du Département de Génie énergétique de l'INSA de Lyon

INTRODUCTION

Les systèmes énergétiques sont, par essence même, le siège de transferts et, pour l'essentiel, de transferts de masse et de chaleur. C'est en particulier le cas lorsque ces systèmes comportent, ce qui est très fréquent, des fluides en écoulement. La qualité énergétique des transferts de chaleur est évidente. Dans le cas des transferts de masse, l'énergie est sous-jacente ; elle se trouve sous forme d'énergie interne (caractérisée essentiellement par le niveau de température), d'enthalpie (l'énergie interne associée à l'énergie potentielle de pression), d'énergie cinétique, d'énergie potentielle gravifique, d'énergie chimique, etc.

La connaissance des transferts lors des écoulements de fluides apparaît ainsi comme fondamentale pour résoudre un grand nombre de problèmes énergétiques. Deux analyses différentes sont généralement appliquées pour cela : l'une est du type local, l'autre du type global. L'une et l'autre peuvent être abordées par la même étude, celle des bilans que nous présentons dans cet article.

Quelle que soit la grandeur examinée, il est possible d'écrire que sa variation au cours du temps, pour un domaine donné, est due à un flux de cette grandeur à travers la frontière du domaine, à une diffusion de la grandeur par rapport au flux moyen (superposition d'un mouvement microscopique au mouvement macroscopique observé) et à des sources ou production (positive ou négative) de cette grandeur. La traduction de ce principe (de bon sens) sous forme « mathématique » est l'équation générale des bilans. Son application à la masse d'un fluide conduit à l'équation dite de conservation de la masse (pas de source ni de diffusion). Si la grandeur est la quantité de mouvement, c'est le principe de Newton qui est traduit par cette équation de bilan dans laquelle la diffusion est due à la viscosité du fluide, la source étant due aux diverses forces de champ et de pression. Enfin, le premier principe de la thermodynamique se retrouve dans l'équation du bilan de l'énergie qui débouche sur un bilan enthalpique et dont le terme diffusif correspond à la conduction (linéaire – loi de Fourier) de la chaleur dans le fluide et le terme source à des apports thermiques par rayonnement par exemple ou par réactions chimiques. Le bilan de l'énergie cinétique présenté dans cet article n'est pas un bilan indépendant par rapport aux autres bilans. Il n'est qu'une présentation « mécanicienne » du bilan de l'énergie et correspond en fait à l'intégration, sur une direction d'espace, du bilan de la quantité de mouvement. D'autres bilans classiques auraient pu être présentés dans cet article, notamment celui des espèces (pour les écoulements de mélanges réactifs ou non) et celui de l'entropie. On ne l'a pas fait, afin de ne pas trop surcharger cette « introduction » à l'étude des bilans.

Par transformation mathématique d'intégrales, toutes les équations de bilans peuvent prendre une forme locale à partir de laquelle une intégration, quasiment toujours numérique, doit permettre, compte tenu des conditions aux limites et initiales, de déterminer les champs vectoriels (vitesses) et scalaires (pression, température, masse volumique, etc.) et les transferts dans la totalité du domaine d'écoulement étudié. Cette résolution étant dans de nombreux cas longue, voire délicate, et nécessitant des moyens de calcul importants en matériel et logiciel, des formes globales ou intégrées peuvent être utilisées. Elles sont beaucoup moins riches en renseignements et nécessitent souvent de procéder à des hypothèses simplificatrices et de faire appel à des connaissances empiriques. Leur utilisation est plus légère, ce qui les rend encore attractives dans la résolution (souvent approchée) de beaucoup de problèmes pratiques. Les formes globales présentées dans cet article concernent l'intégration des équations de bilan à des domaines particuliers : ceux qui sont délimités par deux sections droites et un tube de courant, ou mieux, un filet de courant. Les équations correspondantes sont celles du débit à travers une section, celle de l'enthalpie, celles d'Euler et de Bernoulli dont les applications sont nombreuses, notamment dans les systèmes thermiques.

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KEYWORDS

balance   |   stress field

VERSIONS

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v2-be8153


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4. Bilan de l'énergie cinétique. Équation de Bernoulli généralisée

4.1 Cas général

Le théorème de l'énergie cinétique est le suivant.

La variation de l'énergie cinétique pendant l'unité de temps d'un système matériel est égale à la puissance exercée par les forces intérieures et extérieures appliquées à ce système.

Pour traduire ce théorème, on utilise l'équation de bilan d'une grandeur scalaire [équation (3)]. Ici, la grandeur scalaire G est l'énergie cinétique Ec du fluide contenu à l'instant t dans le volume V et la grandeur  volumique  g,  l'énergie  cinétique  par  unité  de   volume ρv 2/2. Alors, en notant par Ω la surface frontière avec le milieu extérieur, on a :

( 75 )

Dans le membre de droite se trouvent :

  • la puissance des forces extérieures volumiques (à distance) ;

  • la puissance des forces de surface (pression et viscosité) ;

  • la puissance des forces intérieures au système.

Cette dernière puissance est due aux forces de pression et de viscosité à l'intérieur même du volume. Pour un volume élémentaire parallélépipédique (figure 11), le déplacement relatif de deux côtés du volume est dû à la différence des vitesses. Par exemple, ce déplacement au cours du temps dt de la face j selon la direction i vaut :

Le travail de la force intérieure...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - CANDEL (S.) -   Mécanique des fluides.  -  Dunod – Paris 1990.

  • (2) - WHITE (F.-M.) -   Viscous fluid flow.  -  McGraw Hill – New-York 1991.

  • (3) - PADET (J.) -   Fluides en écoulement.  -  Masson – Paris 1991.

  • (4) - GUYON (É.), HULIN (J.-P.), PETIT (L.) -   Hydrodynamique Physique.  -  CNRS Éditions – Paris 1991.

  • (5) - FOX (R.W.), MCDONALD (A.T.) -   Introduction to Fluid Mechanics.  -  Whiley – New-York 1992.

  • (6) - VIOLLET (P.-L.) -   Mécanique des fluides à masse volumique variable.  -  Presses de l"École nationale des Ponts et Chaussées – Paris 1997.

  • ...

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