Application à un exemple de droite d’étalonnage
Approche bayésienne de l’évaluation de l’incertitude de mesure

Dans le cadre de cet article, on considère que les étapes fondamentales de spécification du mesurande et d’analyse du processus de mesure conduisant à une liste de grandeurs d’influence ont été réalisées. En effet, ces étapes sont communes à toute démarche d’évaluation de l’incertitude de mesure et conditionnent la portée de l’évaluation d’incertitude réalisée. On rappelle également que le modèle utilisé pour représenter les relations entre les grandeurs (modèle de mesure ou modèle statistique comme cela est expliqué par la suite) n’est pas unique et est élaboré en combinant l’expertise et les connaissances du métrologue afin de répondre à un besoin ou une exigence spécifique.

L’approche bayésienne suscite un intérêt croissant en métrologie où elle apparaît désormais comme une des approches d’évaluation d’incertitude dans le cadre du « Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure » (voir JCGM GUM 6 ). Sa popularité est portée par sa capacité à modéliser l’incertitude, à intégrer des connaissances a priori ou encore à permettre l’analyse de données complexes dans un cadre probabiliste unifié permettant d’accroître la fiabilité des résultats et des prises de décisions associées. Selon Lindley , le cadre bayésien est même, de par sa construction, le seul propice à la représentation de l’incertitude de mesure. De plus, les métrologues apprécient de pouvoir s’appuyer sur les liens existants entre l’approche bayésienne et les méthodes traditionnelles du JCGM 100 et du JCGM 101. Cela leur permet, d’une part, de maintenir la cohérence avec les évaluations d’incertitudes antérieures, et d’autre part, d’explorer les potentialités offertes par l’approche bayésienne pour des applications spécifiques. Il est ainsi fréquent qu’un calcul d’incertitude traditionnel ait été mis en œuvre avant de se lancer dans une démarche complètement bayésienne.

Le cadre bayésien considère, par opposition au cadre fréquentiste classique, que tout paramètre d’un modèle statistique peut être représenté par une variable aléatoire dont la loi de probabilité exprime un degré de croyance sur l’ensemble des valeurs possibles. L’approche bayésienne consiste à formaliser le passage d’une connaissance ou degré de croyance a priori à une connaissance ou degré de croyance a posteriori, par l’apport de données, pour l’ensemble des paramètres, au moyen de la formule de Bayes. L’approche bayésienne est particulièrement adaptée aux problèmes inverses où l’on cherche à déterminer les causes à partir des effets observés, c’est-à-dire à retrouver les paramètres d’entrée d’un système à partir des données de sortie mesurées.

L’évaluation de l’incertitude de mesure apparaît ainsi comme un problème inverse, qui peut être traité en tant que tel dans une approche bayésienne ou bien sous la forme d’un problème direct approximé dans le cadre du JCGM 100 ou du JCGM 101 .

L’application du cadre bayésien à la métrologie consiste à exprimer la dépendance des mesures au processus ayant conduit à leur observation par une relation statistique, exprimant les mesures en fonction du mesurande, des grandeurs d’influence et de tout autre paramètre utile identifié par le processus de mesure (paramètre de variance, etc.), à la manière d’un modèle de régression (qui est un type de problème inverse). Cette approche semble davantage conforme à la pratique expérimentale car c’est la valeur (ou l’état, etc.) inconnue du mesurande qui conditionne les mesures et non pas l’inverse.

Toutefois, l’approche commune du JCGM 100 et du JCGM 101 qui consiste à établir un modèle de mesure, c’est-à-dire à travailler sur une formulation directe du problème inverse en exprimant le mesurande comme fonction des grandeurs d’influence du processus de mesure, constitue une approximation pratique et le plus souvent justifiée pour permettre une évaluation suffisamment fiable de l’incertitude de mesure pour un besoin donné. Cette approche laisse, de côté par exemple, les éventuelles corrélations entre le mesurande et les grandeurs d’entrée, ce qui n’est pas problématique si celles-ci sont négligeables.

Un autre intérêt de l’approche bayésienne est de permettre d’incorporer à un calcul d’incertitude une information a priori sur le mesurande et sur les grandeurs d’influence sous la forme d’une densité jointe de probabilité qui pourra être mise à jour par l’apport de mesures. L’approche bayésienne est particulièrement attractive dans les domaines où la problématique est déjà formulée à partir d’un modèle statistique :

• l’analyse de comparaisons interlaboratoires ;

• la méta-analyse ;

• l’estimation et la prévision à partir de modèles d’étalonnage, etc.

L’application des méthodes bayésiennes à l’évaluation de l’incertitude de mesure fait l’objet d’une abondante littérature (notamment dans la revue Metrologia publiée par le BIPM https://www.bipm.org/en/) depuis une vingtaine d’années et est actuellement toujours un sujet de recherche actif. De nombreux exemples ont été récemment traités dans le cadre bayésien dans le projet européen EMUE (Examples of measurement uncertainty evaluation) et comparés aux approches classiques du JCGM 100 et du JCGM 101. Bien que les principes sous-jacents à la mise en œuvre des méthodes traditionnelle et bayésienne soient différents, de nombreux travaux ont permis d’établir des équivalences, théoriques ou par simulation, entre les résultats obtenus avec les deux méthodes et de mettre en évidence que les principales différences entre les méthodes sont obtenues dans le cas de modèles de mesure non linéaires ou en présence d’information a priori sur le mesurande. De plus, il est intéressant de noter que le JCGM 101 a déjà été rédigé dans un esprit bayésien.

Cet article est structuré en cinq chapitres principaux. Le chapitre 1 présente et analyse la perspective bayésienne du JCGM 101. Le chapitre 2 détaille les principes de l’application de l’approche complètement bayésienne de l’évaluation de l’incertitude de mesure. Le chapitre 3 propose un aperçu détaillé d’une sélection de techniques bayésiennes utiles en métrologie. Enfin, les chapitres 4 et 5 illustrent l’application de la méthode bayésienne à deux cas d’études, respectivement pour un modèle de mesure linéaire et un modèle de mesure non linéaire.