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1 - OUTILS DE BASE

  • 1.1 - Polynômes orthogonaux
  • 1.2 - Formules de quadrature

2 - DISCRÉTISATION SPECTRALE D’UNE ÉQUATION ELLIPTIQUE

  • 2.1 - Discrétisation d’une équation de Laplace
  • 2.2 - Autres conditions aux limites
  • 2.3 - Une extension
  • 2.4 - Autres équations

3 - TRAITEMENT DE GÉOMÉTRIES COMPLEXES

  • 3.1 - Décomposition de domaine
  • 3.2 - Transformation de domaine
  • 3.3 - Traitement de géométries axisymétriques

4 - ÉQUATIONS INSTATIONNAIRES

  • 4.1 - Équations paraboliques
  • 4.2 - Équations hyperboliques

5 - MISE EN ŒUVRE DE LA DISCRÉTISATION

  • 5.1 - Assemblage des matrices
  • 5.2 - Résolution numérique

6 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : AF520 v1

Équations instationnaires
À la découverte des méthodes spectrales

Auteur(s) : Christine BERNARDI, Yvon MADAY

Date de publication : 10 avr. 2013

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RÉSUMÉ

Les méthodes spectrales, en tant que technique de discrétisation d’équations aux dérivées partielles, ont été introduites il y a près d’un demi-siècle. La méthode repose principalement sur l’emploi de bases associées à des polynômes orthogonaux. La discrétisation d’une équation elliptique modèle est ensuite expliquée, l’extension à des problèmes plus réalistes étant facile. Puis le traitement de géométries complexes est décrit, ainsi que l’extension à des équations instationnaires. Pour conclure, quelques remarques sur la mise en œuvre de tous ces problèmes.

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ABSTRACT

Discovering spectral methods

Spectral methods, as discretization techniques of equations with partial derivatives, were introduced around a half century ago. Principally, the method is based on the use of bases associated with orthogonal polynomials. The discretization of an elliptic equation is then explained, which can be easily extended to more realistic problems. The treatment of complex geometries is then described, as well as the extension to instationary equations. To conclude, certain remarks are made on the implementation of all these problems.

Auteur(s)

  • Christine BERNARDI : Directrice de recherche au CNRS - Laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598 - Université Pierre et Marie Curie, Paris 6

  • Yvon MADAY : Professeur - Laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598 - Université Pierre et Marie Curie, Paris 6 - Institut universitaire de France

INTRODUCTION

Les méthodes spectrales, en tant que technique de discrétisation d’équations aux dérivées partielles, ont été introduites il y a près d’un demi-siècle dans une série de papiers par Steve Orszag (voir par exemple  ) ainsi que dans . Elles ont connu un essor important grâce au livre de David Gottlieb et Steve Orszag  où les bases de leur généralisation à d’autres approximations que celles de fonctions périodiques par séries de Fourier ont été jetées. Elles sont caractérisées par les deux points suivants :

  • l’approximation par des polynômes de haut degré ;

  • l’utilisation de bases tensorisées de polynômes.

Un autre aspect de cette évolution est que l’emploi de l’algorithme de transformation de Fourier rapide, important il y a encore une quinzaine d’années, est passé depuis au second plan dû à l’augmentation de la puissance de calcul et l’amélioration des algorithmes de multiplication matricielle.

Comme beaucoup d’autres discrétisations à l’heure actuelle, les méthodes spectrales font appel à la formulation variationnelle du problème initial, et le problème discret est le plus souvent construit par méthode de Galerkin, de sorte que l’erreur entre la solution exacte et la solution approchée est du même ordre que l’erreur de meilleure approximation dans l’espace discret. L’approximation par des polynômes de degré élevé mène à une discrétisation d’ordre infini, au sens suivant : si N désigne le degré des polynômes utilisés dans la discrétisation, l’erreur a priori se comporte comme N−σ, où σ peut être aussi grand que la régularité de la solution le permet. Le fait d’utiliser des bases tensorisées conduit à une simplification mathématique et surtout numérique : en effet, le coût du produit matrice-vecteur dans l’implémentation de ces méthodes est grandement réduit, ce qui diminue le coût de calcul. L’inconvénient correspondant est que les domaines de base pour les méthodes spectrales sont tensorisés (un rectangle ou un parallélépipède rectangle, par exemple), ce qui oblige à traiter les géométries plus complexes par décomposition ou transformation du domaine.

Nous présentons d’abord les outils fondamentaux : la méthode repose principalement sur l’emploi de bases associées à des polynômes orthogonaux (section 1). Nous expliquons ensuite comment discrétiser une équation elliptique modèle (section 2), l’extension à des problèmes plus réalistes étant facile. Puis nous décrivons le traitement de géométries complexes (section 3) et l’extension à des équations instationnaires (section 4). Nous concluons par des remarques sur la mise en œuvre de tous ces problèmes (section 5). Pour plus de précisions sur ces méthodes, le lecteur peut consulter    .

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af520


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4. Équations instationnaires

Dans les sections précédentes, seule la direction spatiale a fait l’objet de discrétisation. Les problèmes instationnaires font intervenir une variable supplémentaire : le temps t qui décrit un intervalle borné [0, T], T > 0, et a un statut spécial. La discrétisation spectrale de problèmes instationnaires respecte la plupart du temps cette différence de statut ; un schéma de discrétisation temporelle est utilisé, basé sur un découpage, par exemple régulier, de [0, T] en intervalles [tn, tn + 1], avec un pas de temps constant δt = tn + 1 − tn . La solution des problèmes instationnaires u  (x, tn) au temps tn est alors approchée par une quantité un  (x), définie de façon récurrente par un schéma, de type implicite ou explicite : ce schéma consiste à résoudre, à chaque pas de temps tn une équation aux dérivées partielles en espace. Chacun de ces problèmes doit alors être discrétisé par une approximation en espace qui peut être une des discrétisations spectrales précédentes. La difficulté ici est que la grande précision des méthodes spectrales doit être préservée autant que possible par la discrétisation en temps.

Nous détaillons un peu plus dans ce qui suit les choix de schémas en temps, suivant que le type des équations est parabolique ou hyperbolique.

4.1 Équations paraboliques

Le problème type de convection/diffusion que nous allons considérer consiste, pour un champ de vitesse v à divergence nulle sur le domaine Ω, à trouver une fonction scalaire (par exemple une température) solution de l’équation

( 68 )

complétée par des conditions aux limites et initiales appropriées. L’opérateur de diffusion est classiquement traité en implicite, son traitement par une méthode explicite entraînerait en effet le choix d’un pas de temps trop petit pour des raisons de stabilité....

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ABRAMOWITZ (M.), STEGUN (I.A.) -   Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, vol. 55 of National Bureau of Standards Applied Mathematics Series  -  For sale by the Superintendent of Documents, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C. (1964).

  • (2) - BERNARDI (C.), DAUGE (M.), MADAY (Y.) -   Spectral methods for axisymmetric domains, vol. 3 of Series in Applied Mathematics (Paris)  -  Gauthier-Villars, Éditions Scientifiques et Médicales Elsevier, Numerical algorithms and tests due to Mejdi Azaïez, Paris (1999).

  • (3) - BERNARDI (C.), MADAY (Y.), PATERA (A.T.) -   A new nonconforming approach to domain decomposition : the mortar element method  -  In Nonlinear partial differential equations and their applications. Collège de France Seminar, Vol. XI (Paris, 1989-1991), vol. 299 of Pitman Res. Notes Math. Ser. Longman Sci. Tech., Harlow, pp. 13-51 (1994).

  • (4) - BERNARDI (C.), MADAY (Y.) -   Polynomial approximation of some singular functions  -  Appl. Anal. 42, 1, 1-32 (1991).

  • (5) - BERNARDI (C.), MADAY (Y.) -   Approximations spectrales de problèmes...

1 Outils logiciels

Code Nektar – Implémentation de méthodes d'éléments spectraux sur base de tétraèdres http://www.cfm.brown.edu/people/tcew/nektar.html

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