Bases fonctionnelles de l'analyse numérique

Il est souvent difficile de se faire une idée de l'intérêt des diverses notions théoriques abordées dans le traité de Mathématiques pour l'ingénieur ainsi que dans les livres d'analyse numérique et de mathématiques appliquées. Elles sont d'habitude présentées séparemment les unes des autres et l'on a du mal à voir comment elles sont reliées et pourquoi. Le but de cet article est d'apporter, du moins partiellement, quelques éléments de réponse et de servir de lien entre différents articles de ce traité.

Comme dans d'autres domaines des mathématiques, l'analyse fonctionnelle a permis d'unifier un certain nombre de concepts, de problèmes et de méthodes de l'analyse numérique jusque là sans liens ou, tout au moins, de leur donner une base commune.

Nous avons voulu ici, en partant de l'analyse fonctionnelle et en allant jusqu'aux applications, montrer comment tout se tient, tout s'enchaîne. Le but recherché n'est en aucun cas d'essayer d'être exhaustif mais seulement d'illustrer cette idée par quelques exemples le plus souvent déjà étudiés dans d'autres articles. On pourra, en particulier, consulter [AF 190] [AF 191] [AF 106] [AF 1 220] [AF 1 221] [AF 1 111] [AF 508] [AF 101] [AF 1 380] [AF 567] [AF 568] [AF 520] [AF 488] [AF 1 372], les références qui y sont citées ainsi que les nombreux autres articles de ce traité sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles. D'autres références de caractère général complètent la bibliographie. Celles en français ont été privilégiées.

Les démonstrations de certains résultats ont été données car elles permettent de mieux saisir les idées.