Échantillonnage et filtrage numérique des signaux 2D
La transformée de Fourier et ses applications (partie 3)

AF1442 v1 Article de référence

Échantillonnage et filtrage numérique des signaux 2D
La transformée de Fourier et ses applications (partie 3)

Auteur(s) : Joël LE ROUX

Date de publication : 10 avr. 2007 | Read in English

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Sommaire
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1 - Échantillonnage et filtrage numérique des signaux 2D

1.1 - Échantillonnage rectangulaire ou carré

Figure 4 - Pavages réguliers du plan
1.2 - Représentation fréquentielle des signaux discrets bidimensionnels
1.3 - Transformée de Fourier discrète ou DFT
1.4 - Filtrage des signaux bidimensionnels
1.5 - Filtres miroir en quadrature et transformée en ondelettes
1.6 - Signaux aléatoires bidimensionnels. Estimation spectrale des signaux bidimensionnels

2 - Quelques problèmes de traitement de signaux multidimensionnels

2.1 - Problèmes liés à la propagation d’ondes
2.2 - Reconstitution d’images à partir de projections
2.3 - Imagerie par résonance magnétique nucléaire
2.4 - Transformée de Fourier et propagation d’ondes en optique cohérente ou en électromagnétisme
2.5 - Filtrage et détection de contours

Figure 19 - Filtre de Canny
2.6 - Conclusion

Bibliographie & annexes

Présentation

RÉSUMÉ

Cet article sur la transformée de Fourier est principalement consacrée aux applications et aux domaines dans lesquels l’utilisation de l’analyse en fréquence est indispensable. Sont d'abord présentés l’échantillonnage et le filtrage numérique des signaux 2D (notamment l’échantillonnage rectangulaire ou carré, la représentation fréquentielle des signaux, le filtrage des signaux bidimensionnels ou encore signaux aléatoires bidimensionnels). Ensuite, les quelques problèmes de traitement de signaux multidimensionnels qu’il est possible de rencontrer sont décrits : problèmes liés à la propagation d’ondes, reconstitution d’images à partir de projections, imagerie par résonance magnétique nucléaire, etc.

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Auteur(s)

Joël LE ROUX : École polytechnique universitaire (EPU) - Université de Nice Sophia-Antipolis

INTRODUCTION

Cette troisième partie de l’exposé sur la transformée de Fourier se base sur les notions présentées dans § 2 et sur l’extension multidimensionnelle d’outils décrits dans et dans , § 1.

Elle montre la mise en application des notions développées précédemment et traite en première lieu des problèmes liés à l’échantillonnage des images, des outils nécessaires au filtrage numérique des images et à l’analyse spectrale des signaux multidimensionnels en mentionnant un cas particulier, la transformée en cosinus à la base de techniques de compression d’images. Elle donne l’extension aux signaux bidimensionnels des outils utiles pour l’étude des signaux aléatoires, comme l’analyse spectrale.

Enfin, dans un deuxième paragraphe, elle aborde quelques domaines où l’utilisation de l’analyse en fréquence est fondamentale comme la propagation d’ondes, la résolution d’équations aux dérivées partielles, l’imagerie médicale, l’interférométrie et l’analyse des contours dans une image.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1442

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Quelques problèmes de traitement de signaux multidimensionnels

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1. Échantillonnage et filtrage numérique des signaux 2D

Les problèmes posés par l’échantillonnage des signaux bidimensionnels sont similaires à ceux des signaux monodimensionnels. La théorie de Nyquist-Shannon s’applique de la même manière. Toutefois, une interprétation dans un espace à deux dimensions est nécessaire pour mieux comprendre les phénomènes liés à l’échantillonnage dans le domaine spatial, comme les effets de la géométrie du motif d’échantillonnage.

Mentionnons d’abord les compromis nécessaires entre la rigueur théorique et les spécificités de certaines applications en traitement numérique des images.

Les spécialistes du traitement numérique des images ont l’habitude de représenter une image échantillonnée sous la forme de « pixels », des carrés où l’intensité de l’image est constante. Ce n’est pas l’interprétation compatible avec la théorie de l’échantillonnage. Par ailleurs, l’effet stroboscopique du cinéma et les effets de moiré qu’on peut observer lors de la numérisation de textures de vêtements, par exemple, montrent que l’application rigoureuse des bonnes conditions d’échantillonnage ne sont pas nécessairement une priorité. Pour une interprétation correcte des effets de l’échantillonnage, il faut considérer l’image comme un ensemble d’impulsions de Dirac où chaque impulsion est au centre d’un pixel et a pour amplitude l’intensité de ce pixel. Tout le reste du pixel a une intensité nulle (figure 1). La représentation habituelle sous forme de pixels correspond au filtrage de l’image composée d’impulsions d’amplitude variable par un filtre dont la réponse impulsionnelle est une fonction égale à un à l’intérieur du carré support d’un pixel centré à l’origine et nulle partout ailleurs (équivalent bidimensionnel du bloqueur d’ordre zéro pour les signaux temporels).

1.1 Échantillonnage rectangulaire ou carré

Parmi tous les échantillonnages réguliers possibles, l’échantillonnage carré est le plus courant. Nous étudierons plus spécialement celui-ci et nous verrons succinctement comment on peut étendre les résultats obtenus au cas de l’échantillonnage en quinconce.

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