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La transformée de Fourier et ses applications (partie 1)

Article de référence | Réf : AF1441 v1

La transformée de Fourier et ses applications (partie 2)

Auteur(s) : Joël LE ROUX

Date de publication : 10 avr. 2007

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RÉSUMÉ

Cet article sur la transformée de Fourier est composé de deux paragraphes traitant de deux aspects bien distincts. Le premier présente les expressions de la transformée de Fourier dans le cas du traitement numérique des signaux échantillonnés. Quelques utilisations et extensions de la transformée directe sont alors proposées. Le second paragraphe traite du cas des signaux bidimensionnels et de leur représentation en fréquences. Ces signaux servent de base dans différents domaines tels que la compression et le filtrage d’images, le prétraitements pour la reconnaissance de formes, etc. Le cas de la transformée de Fourier 2D vient en complément : interprétation et propriétés sont communiquées.

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ABSTRACT

This article on Fourier transform is composed of two paragraphs dealing with two very distinct aspects. In the first one, the expressions of Fourier transform in the case of the numerical processing of sampled signals are presented. A few uses and extensions of the direct transform are then proposed. The second paragraph deals with the case of two-dimensional signals and their representation in frequency. These signals serve as a basis in different domains such as compression and image filtering, preprocessing for form recognition, etc. The case of the 2D Fourier transform completes this article: interpretation and properties are presented.

Auteur(s)

Joël LE ROUX : École polytechnique universitaire (EPU) Université de Nice Sophia-Antipolis

INTRODUCTION

Cette deuxième partie de la présentation de la transformée de Fourier comporte deux paragraphes distincts et sans rapport direct. Elle se base sur les développements donnés dans la première partie en La transformée de Fourier et ses applications (partie 1).

Nous verrons dans le premier paragraphe les expressions de la transformée de Fourier dans le cas du traitement numérique des signaux échantillonnés (la transformée de Fourier discrète), en décrivant plus particulièrement l’algorithme de transformée de Fourier rapide et en notant quelques considérations pratiques qu’on ne doit pas négliger lors de la mise en œuvre et l’utilisation de la transformée de Fourier discrète. Nous y mentionnerons des applications importantes comme la compression MP3 des signaux musicaux ou la modulation OFDM utilisée, par exemple, en télédiffusion numérique. Nous y donnerons également les résultats principaux concernant l’analyse spectrale des signaux aléatoires, principalement les notions de fonction d’autocorrélation et de densité spectrale.

Dans un deuxième paragraphe, nous aborderons le cas des signaux bidimensionnels (le plus souvent des images) et leur représentation en fréquences qui serviront de base dans différents domaines d’application : compression d’images, filtrage d’images, prétraitements pour la reconnaissance de formes, en mentionnant plus particulièrement les propriétés importantes de la transformée de Radon très utilisée en imagerie médicale.

La mise en œuvre et des exemples d’application seront vus dans une troisième partie La transformée de Fourier et ses applications (partie 3).

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PERMALIEN

https://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/applications-des-mathematiques-42102210/la-transformee-de-fourier-et-ses-applications-partie-2-af1441/

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Sommaire
Sommaire détaillé

INTRODUCTION

1 - TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE

1.1 - Lien avec les séries de Fourier
1.2 - Transformée de Fourier rapide
1.3 - Limitations en résolution de la transformée de Fourier discrète
1.4 - Quelques utilisations et extensions de la transformée discrète
1.5 - Filtrage et analyse spectrale des signaux aléatoires. Fenêtres d’analyse spectrale

2 - TRANSFORMÉE DE FOURIER DES SIGNAUX BIDIMENSIONNELS ET DES IMAGES

2.1 - Représentation fréquentielle des signaux bidimensionnels continus. Transformée de Fourier 2D
2.2 - Interprétation de la transformée de Fourier 2D
2.3 - Propriétés de la transformée de Fourier 2D
2.4 - Effet de halo : phénomène de Gibbs, tache d’Airy, diffraction de Fraunhofer

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