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Auteur(s)
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Lire l’articleINTRODUCTION
Bien que les polynômes soient les outils les plus élémentaires du calcul formel, ils ne suffisent pas à exprimer complètement les opérations générales de l’algèbre commutative. C’est pourquoi, pour laisser la possibilité d’effectuer des divisions, il est naturel d’introduire la notion de fraction rationnelle, qui est au polynôme ce que la fraction (appelée encore nombre rationnel) est à l’entier. On décèle alors un procédé général de construction, celui du corps des fractions d’un anneau intègre.
En outre, les développements limités, les développements en série entière, et d’autres développements menés soit à un ordre arbitraire, soit de manière illimitée, nécessitent l’introduction d’outils adaptés, qui s’expriment dans le cadre des séries formelles.
Comme les polynômes, les fractions rationnelles et les séries formelles sont des objets particulièrement bien adaptés à des manipulations formelles, que l’on effectuera grâce à un logiciel.
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2. Calculs dans K (X )
2.1 Décomposition en éléments simples
Lemme 3. Soit I un polynôme irréductible de K [X ], de degré d. Si P et Q sont deux éléments de K [X ], Q n’étant pas divisible par I , il existe un unique couple (U, V ) de polynômes, avec deg (U ) < d, tel que :
P = UQ + IVPreuve.
-
Existence
D’après Bezout, (cf. Polynômes : étude algébrique), on peut écrire :
P = U1Q + IV1car pgcd (Q, I ) = 1.
En divisant U 1 par I , on obtient l’expression indiquée.
-
Unicité
Elle résulte de ce que, par différence, on se ramène à étudier l’égalité :
UQ + IV = 0,qui entraîne que I divise U, donc U = 0 pour une question de degré.
Lorsque P = 1, l’algorithme d’Euclide fournit exactement U de degré inférieur ou égal à d – 1.
Proposition 9.
Soit
∊ K (X ). On suppose que Q n’est pas divisible par le polynôme irréductible I .
Soit n ∊
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