Présentation
Auteur(s)
-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleINTRODUCTION
Bien que les polynômes soient les outils les plus élémentaires du calcul formel, ils ne suffisent pas à exprimer complètement les opérations générales de l’algèbre commutative. C’est pourquoi, pour laisser la possibilité d’effectuer des divisions, il est naturel d’introduire la notion de fraction rationnelle, qui est au polynôme ce que la fraction (appelée encore nombre rationnel) est à l’entier. On décèle alors un procédé général de construction, celui du corps des fractions d’un anneau intègre.
En outre, les développements limités, les développements en série entière, et d’autres développements menés soit à un ordre arbitraire, soit de manière illimitée, nécessitent l’introduction d’outils adaptés, qui s’expriment dans le cadre des séries formelles.
Comme les polynômes, les fractions rationnelles et les séries formelles sont des objets particulièrement bien adaptés à des manipulations formelles, que l’on effectuera grâce à un logiciel.
Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92 % à découvrir.
Déjà abonné ? Se connecter
DOI (Digital Object Identifier)
Présentation
Calculs dans K (X )Article inclus dans l'offre
"Mathématiques"
(170 articles)
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques.
Quiz, médias, tableaux, formules, vidéos, etc.
Opérationnels et didactiques, pour garantir l'acquisition des compétences transverses.
Un ensemble de services exclusifs en complément des ressources.
1. Généralités
1.1 Corps des fractions
Dans ce paragraphe, (A , + , · ) désigne un anneau commutatif intègre, de neutre multiplicatif noté 1.
HAUT DE PAGE1.1.1 Construction du corps des fractions
Sur l’ensemble
= A x (A – {0}), on définit deux lois, + et · , par les conditions :
(p, q ) · (p1, q1) = (pp1, qq1).
La loi · , qui est la multiplication composante par composante, est, d’une part, interne d’après l’intégrité de A :
q ¹ 0 Ù q1 ¹ 0 ⇒ qq1 ¹ 0.D’autre part, elle est associative, commutative, et admet le neutre (1, 1).
La loi + est, toujours par intégrité de A, interne dans
. Elle est commutative et associative, et admet le neutre (0, 1).
On définit sur
la relation d’équivalence ∼ par :
Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 93 % à découvrir.
Déjà abonné ? Se connecter
Généralités
Article inclus dans l'offre
"Mathématiques"
(170 articles)
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques.
Quiz, médias, tableaux, formules, vidéos, etc.
Opérationnels et didactiques, pour garantir l'acquisition des compétences transverses.
Un ensemble de services exclusifs en complément des ressources.
Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92 % à découvrir.
Déjà abonné ? Se connecter
Article inclus dans l'offre
"Mathématiques"
(170 articles)
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques.
Quiz, médias, tableaux, formules, vidéos, etc.
Opérationnels et didactiques, pour garantir l'acquisition des compétences transverses.
Un ensemble de services exclusifs en complément des ressources.
