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RÉSUMÉ
Les fonctions à variations bornées sont des fonctions intégrables particulières dont les variations totales sont finies. Elles tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne. Cet article présente les fonctions à variations bornées d’une seule variable et de plusieurs variables, avec des exemples et des contre-exemples. Une partie est consacrée aux ensembles à périmètres distributionnels finis (i.e. les ensembles de Caccioppoli), ainsi qu’à la présentation de généralisations, extensions et restrictions. Plusieurs exemples concrets d’applications pratiques en analyse fonctionnelle, géométrie, probabilités et statistiques, physique et imagerie mathématique sont détaillés.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
INTRODUCTION
Les fonctions à variations bornées tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne récente (surtout depuis la fin du XXe siècle). Les espaces de fonctions à variations bornées viennent se positionner « finement » entre les espaces de Sobolev trop restreints (pas assez de fonctions, notamment pas les fonctions de type « saut ») et les espaces de Lebesgue trop vastes (trop de fonctions).
Elles sont fréquemment utilisées pour définir des solutions généralisées de problèmes de minimisation non linéaires impliquant des fonctionnelles, d’équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, d’équations intégrales, en mathématiques, en physique et en ingénierie (mécanique, traitement d’images…).
Il est important de noter que les applications concrètes nécessitent des notions et outils mathématiques théoriques de plus en plus « sophistiqués » afin d’obtenir des solutions de plus en plus précises à des problèmes d’ingénierie.
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espaces de Lebesgue espaces de Sobolev ensembles de Caccioppoli opérateur trace mesures de Radon
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Conclusion15. Applications à l’imagerie mathématique
L’imagerie mathématique (mathematical imaging) [E 6 610] désigne l’ensemble des théories, méthodes, techniques et notions mathématiques appliquées au traitement des images, domaine interdisciplinaire qui est apparu dans les années 1960 et s’est fortement développé depuis les années 1990.
15.1 Débruitage d’images par minimisation de la variation totale
L’objectif de la restauration d’image (image restoration) est la suppression des perturbations (perturbations). Le but est de retrouver le contenu original qui aurait dû résulter d’une d’acquisition parfaite, voire idéale, ou au moins de s’en rapprocher. Les perturbations peuvent être globales ou locales, selon qu’elles affectent toute l’image ou seulement certaines de ces parties ou de ces composantes [E 6 610]. Les perturbations sont classées en trois catégories : les dégradations (degradations) (par exemple les variations d’éclairage ou les illuminations non uniformes, les perturbations associées à la scène elle-même…), les bruits (noises) (par exemple les bruits du capteur ou d’échantillonnage, les artefacts…) ou les déformations (deformations) (par exemple les distorsions résultantes de la formation de l’image…).
Étant donnée une fonction image f définie sur un ouvert borné non vide U de
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBERTI (G.), MANTEGAZZA (C.) - A Note on the Theory of SBV Functions, - Bollettino Unione Matematica Italiana Sezione B, Vol. 7, n° 11, pp. 375-382 (1997).
-
(2) - AMBROSIO (L.) - Metric space valued functions with bounded variation, - Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4e série, tome 17, pp. 291-322 (1990).
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(3) - AMBROSIO (L.), FUSCO (N.), PALLARA (D.) - Functions of bounded variation and free discontinuity problems, - Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York (2000).
-
(4) - AMBROSIO (L.), TORTORELLI (V.M.) - Approximation of functionals depending on jumps by elliptic functionals via Γ-convergence, - Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. 43, n° 8, pp. 999-1036 (1990).
-
(5) - BALDI (A.) - Weighted BV functions, - Houston Journal of Mathematics, Vol. 27, n° 3, pp. 683-705 (2001).
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