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RÉSUMÉ
Les fonctions à variations bornées sont des fonctions intégrables particulières dont les variations totales sont finies. Elles tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne. Cet article présente les fonctions à variations bornées d’une seule variable et de plusieurs variables, avec des exemples et des contre-exemples. Une partie est consacrée aux ensembles à périmètres distributionnels finis (i.e. les ensembles de Caccioppoli), ainsi qu’à la présentation de généralisations, extensions et restrictions. Plusieurs exemples concrets d’applications pratiques en analyse fonctionnelle, géométrie, probabilités et statistiques, physique et imagerie mathématique sont détaillés.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
INTRODUCTION
Les fonctions à variations bornées tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne récente (surtout depuis la fin du XXe siècle). Les espaces de fonctions à variations bornées viennent se positionner « finement » entre les espaces de Sobolev trop restreints (pas assez de fonctions, notamment pas les fonctions de type « saut ») et les espaces de Lebesgue trop vastes (trop de fonctions).
Elles sont fréquemment utilisées pour définir des solutions généralisées de problèmes de minimisation non linéaires impliquant des fonctionnelles, d’équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, d’équations intégrales, en mathématiques, en physique et en ingénierie (mécanique, traitement d’images…).
Il est important de noter que les applications concrètes nécessitent des notions et outils mathématiques théoriques de plus en plus « sophistiqués » afin d’obtenir des solutions de plus en plus précises à des problèmes d’ingénierie.
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espaces de Lebesgue espaces de Sobolev ensembles de Caccioppoli opérateur trace mesures de Radon
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Fonctions numériques différentiables3. Fonctions numériques intégrables
L’intégration au sens de Riemann (Riemann integration) fut la première approche rigoureuse historiquement introduite (1854, 1868). Cependant, cette notion se révéla trop limitée, car conduisant à trop peu de fonctions intégrables. L’intégration au sens de Lebesgue (Lebesgue integration) (1904) pallia cette insuffisance afin de permettre d’obtenir les intégrales de fonctions plus nombreuses.
L’intégrale de Riemann d’une fonction numérique s’obtient en partitionnant son domaine de définition et en définissant les fonctions en escalier (step functions), alors que l’intégrale de Lebesgue d’une fonction s’obtient en partitionnant son domaine de valeur et en définissant les fonctions étagées (stepped functions) (figure 1). La théorie de l’intégration de Riemann se base sur les sommes de Darboux inférieures et supérieures, alors que la théorie de Lebesgue requiert les notions plus sophistiquées de mesures d’ensembles et de fonctions mesurables et se base sur les intégrales inférieures et supérieures.
Exemple (la fonction de Dirichlet est intégrable au sens de Lebesgue, mais pas au sens de Riemann) : la fonction de Dirichlet (Dirichlet function), qui est l’indicatrice
de l’ensemble de tous les nombres rationnels
, est égale à 0 presque partout et est nulle part continue. Elle est Lebesgue-intégrable sur [0,1], mais pas Riemann-intégrable sur [0,1].
3.1 Définitions
Définition (fonction µ-intégrable). Soit
un espace mesuré avec µ une mesure positive. L’intégrale de la fonction indicatrice 1S pour un...
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Fonctions numériques intégrables
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBERTI (G.), MANTEGAZZA (C.) - A Note on the Theory of SBV Functions, - Bollettino Unione Matematica Italiana Sezione B, Vol. 7, n° 11, pp. 375-382 (1997).
-
(2) - AMBROSIO (L.) - Metric space valued functions with bounded variation, - Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4e série, tome 17, pp. 291-322 (1990).
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(3) - AMBROSIO (L.), FUSCO (N.), PALLARA (D.) - Functions of bounded variation and free discontinuity problems, - Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York (2000).
-
(4) - AMBROSIO (L.), TORTORELLI (V.M.) - Approximation of functionals depending on jumps by elliptic functionals via Γ-convergence, - Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. 43, n° 8, pp. 999-1036 (1990).
-
(5) - BALDI (A.) - Weighted BV functions, - Houston Journal of Mathematics, Vol. 27, n° 3, pp. 683-705 (2001).
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